Bài 108676

Question

Cho tứ diện đều

$ABCD$ có cạnh bằng

$a.$ Gọi

$I,J,K$ lần lượt là trung điểm của

$AB,CD,BD$

$a.$ Chứng minh rằng

$(ABJ)$ là mặt phẳng trung trực của

$CD$ , đồng thời mặt phẳng này tạo với hai mặt phẳng

$(CAB),(DAB)$ hai góc bằng nhau.

$b,$ Tính số đo của góc tạo bởi

$mp(ACK)$ và

$mp(ABJ)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Các mặt của tứ diện là các tam giác đều, nên

$AJ,BJ$ cùng vuông góc với

$CD$ .Vậy

$AB\bot mp(ABJ)$ tại trung điểm

$J$ của

$CD$ nên nó là mặt phẳng trung trực của

$CD$
Hơn nữa, ta lại có

$CI\bot AB,DI\bot AB,JI\bot AB$ (tam giác

$AJiB$ cân tại

$J$ ) nên góc giữa mặt phẳng

$(ABJ), (CAB),(DAB)$ lần lượt là hai góc nhọn

$\widehat{CIJ},\widehat{DIJ}$ .Rõ ràng ta có :

$\widehat{CIJ}=\widehat{DIJ}$ đều phải chứng minh.

$b,$ ta có :

$(ABJ)\bot (BCD)$ và

$(ACK)\bot (BCD)$
Ta có :

$(ABJ)\cap (ACK)=AO$ (

$O$ là giao điểm

$BJ,CK$ ).Ta có

$CD\bot mp(ABJ)$ do đó

$CD\bot AO$ .Tương tự

$BD\bot mp(AKC)$ nên

$BD\bot AO$ .Suy ra

$AO\bot (BCD)$ , do đó

$AO\bot BO$ và

$AO\bot CO$ .Vậy góc giữa hai đường thẳng

$BO,CO$ chính là góc tạo bởi

$mp(ACK),mp(ABJ)$
Sau cùng, vì

$\Delta BCD$ đều có

$O$ là tâm nên

$\widehat{BOC}=120^0$
Vậy góc tạo bởi

$mp(ACK),mp(ABJ)$ là

$60^0$

Bài 108676

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108676

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan