Bài 108656

Question

Cho $4$ điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Chứng minh :
$a) AB\bot CD\Leftrightarrow AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$
$b)$ Nếu $AB\bot CD$ và $AD\bot BC$ thì $AC\bot BD$

score 0 · Answer 1

a)Giả sử $AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$ kẻ $AM\bot CD$ và $BM'\bot CD$, trong đó $M,M'$ thuộc $CD$ ta có :
$AD^2=AM^2+MD^2$
$BC^2=BM'^2+M'C^2$
$AC^2=AM^2+MC^2$
$BD^2=BM'^2+M'D^2$
Từ đó $MD^2+M'C^2=MC^2+M'D^2$ hay
$(MD-MC)(MD+MC)=(M'D-M'C)(M'D+M'C)$
$MD-MC=M'D-M'C$
Điều này chứng tỏ $M$ trùng với $M'$.Do đó $CD\bot BM$ và $CD\bot AM$ suy ra $AB\bot CD$   $(1)$
Ngược lại, với $AB\bot CD$. Kẻ $AM\bot CD\Rightarrow BM\bot CD$
$\Rightarrow AC^2+BD^2=AM^2+MD^2+BM'^2+M'C^2=AD^2+BC^2$                                                $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra điều phải chứng minh.
$b)$ Áp dụng câu $a)$ ta có :
$\overrightarrow {AD}\bot \overrightarrow {BC}\Leftrightarrow AC^2+DB^2=CD^2+AB^2      (1) $
$\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD}\Leftrightarrow AC^2+BD^2=AD^2+BC^2       (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $CD^2+AB^2=AD^2+BC^2\Leftrightarrow \overrightarrow {AC}\bot \overrightarrow {BD} $

Bài 108656

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108656

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan