Bài 108614

Question

Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $a$, trọng tâm $G$.
a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} $ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} $
b. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} $. chứng minh rằng $BCIG$ là hình bình hành, từ đó tính $\overrightarrow{IA}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ), \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}, \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/19/2012 9:04:50 AM

a. Ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} )=60^0\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos60^0=a.a.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}a^2    $
Ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} )=120^0$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos120^0=a.a(-\frac{1}{2} )=-\frac{1}{2}a^2   $

b. Ta có:
$\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GI} )-2(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GI} )+4(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GI} )=\overrightarrow{0}     $
$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GI}\Leftrightarrow (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}   )-3\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GI}       $
$\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{GI}\Leftrightarrow BCIG $ là hình hình hành.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta được:

$\overrightarrow{IA}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )=(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA} ).2\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{AM}     $
                   $=2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AM}-2GA.AM=-2 \frac{a\sqrt{3} }{3}.\frac{a\sqrt{3} }{2} =-a^2    $

$\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB} )(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC} )=IA^2+\overrightarrow{IA}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}     $
$AG^2+GI^2-a^2+\frac{1}{2}a^2 =(\frac{a\sqrt{3} }{3} )^2+a^2-a^2+\frac{1}{2}a^2=\frac{5a^2}{6} $

$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA} )(\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC} )=IG^2+\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{IC}        $
              $=IG^2+\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=IG^2+IG.IC.\cos 30^0+GA.GB.\cos 120^0    $
              $=(\frac{a\sqrt{3} }{3} )^2+a.\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{a\sqrt{3} }{2}(-\frac{1}{2} )=\frac{17a^2}{24}      $

Bài 108614

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108614

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan