Bài 108514

Question

Chứng minh rằng: $\frac{1}{2}C^0_n-\frac{1}{4}C^1_n+\frac{1}{6}C^2_n-\frac{1}{8}C^3_n+...+\frac{(-1)^n}{2(n+1)}C^n_n=\frac{1}{2(n+1)}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/11/2012 3:24:18 PM

Ta có: $x(1-x^2)^n=x(C^0_n-C^1_nx^2+C^2_nx^4-C^3_nx^6+...+(-1)^nC^n_nx^{2n})$
$=C^0_nx-C^1_nx^3+C^2_nx^5-C^3_nx^7+...+(-1)^nC^n_nx^{2n+1}$.
Lấy tích phân theo $x$ trên $[0;1]$ cả 2 vế ta có:
$\int\limits_0^1x(1-x^2)^ndx=\int\limits_0^1[C^0_nx-C^1_nx^3+C^2_nx^5-C^3_nx^7+...+(-1)^nC^n_nx^{2n+1}]dx$
$\Rightarrow \int\limits_0^1x(1-x^2)dx=(C^0_n\frac{x^2}{2}-C^1_n\frac{x^4}{4}+C^2_n\frac{x^6}{6}-C^3_n\frac{x^8}{8}+...+(-1)^nC^n_n\frac{x^{2n+2}}{2n+2})|_0^1$
$=\frac{1}{2}C^0_n-\frac{1}{4}C^1_n+\frac{1}{6}C^2_n-\frac{1}{8}C^3_n+...+\frac{(-1)^n}{2(n+1)}C^n_n$
Ta tính: $I=\int\limits_1^0x(1-x^2)^ndx$
Đổi biến: $t=1-x^2 \Rightarrow dt=-2xdx$
$\Rightarrow I=\int\limits_1^0(-\frac{1}{2}t^n)dt=\frac{1}{2}\int\limits_1^0(t^n)dt=\frac{1}{2(n+1)}t^{n+1}|_0^1=\frac{1}{2(n+1)}$ ta có đpcm

Bài 108514

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108514

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan