Bài 108367

Question

Cho $\Delta $ đều $ABC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A,B.M$ là một điểm bất kì trên đường tròn đó ($M\neq A,M\neq B$), chứng minh rằng $MA,MB,MC$ là ba cạnh của tam giác vuông

score 0 · Answer 1

Xét hệ trục tọa độ vuông góc $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ là trung điểm của $AB.$Trục hoành là đường thẳng nối $A,B$ có chiều dương hướng từ $A$ sang $B$ (xem hình vẽ)
giả sử trong hệ tọa độ ấy và do $\Delta ABC$ là đều, nên tọa độ các đỉnh $A,B,C,D$ là $A(-1;0),B(1;0),C(0;\sqrt{3} )$.Rõ ràng khi đó tọa độ của $D$ là $D(0;-\sqrt{3} )$.Phương trình đường tròn tâm $D$ qua $A,B$ là :
$x^2+(y+\sqrt{3} )^2=4 (1)$
(do $DB=DA=2$ là cạnh của tam giác đều)
Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm bất kì trên đường tròn $(1)$.Ta có :
$MA^2=(x_0+1)^2+y_0^2$
$MB^2=(x_0-1)^2+y_0^2$
$MC^2=x_0^2+(y_0-\sqrt{3} )^2$
Ta có : $MA^2+MB^2=2x_0^2+2+2y_0^2$
$=x_0^2+(y_0-\sqrt{3} )^2+x_0^2+y_0^2+2y_0\sqrt{3}-1 $
$\Rightarrow MA^2+MB^2-MC^2=x_0^2+(y_0+\sqrt{3} )^2-4 (2)$
Do $(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn $(1)$ nên :
$x_0^2+(y_0+\sqrt{3} )^2-4=0\Rightarrow MA^2+MB^2=MC^2$ Và theo định lí Pitago, đó là đpcm

Bài 108367

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108367

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan