Bài 108366

Question

Cho bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng .Chứng minh rằng : $AC\bot BD\Leftrightarrow AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Lấy $AC$ làm trục hoành;trục tung là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $AC$.Giả sử trong hệ trục ấy, thi ta có : $A(a;0),C(c;0),B(0;b),D(m;n)$
Khi đó : $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$
$\Leftrightarrow (a-0)^2+(0-b)^2+(c-m)^2+(0-n)^2$
$=(a-m)^2+(0-n)^2+(0-c)^2+(b-0)^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2mc+m^2+n^2=a^2+m^2-2am+n^2+c^2+b^2$
$\Leftrightarrow 2m(a-c)=0 (1)$
Do $A(a;0)\neq C(c;0)\Rightarrow a\neq c$.Vậy từ $(1)$ suy ra $m=0$ tức là $D$ nằm trên trục tung $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow AC\bot BD\Rightarrow $ đpcm

Bài 108366

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108366

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan