Bài 108365

Question

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn cố định, trong đó cạnh $AB$ cố định và không phải là đường kính của đường tròn, còn $C$ di động trên đường tròn. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC$. Tìm quỹ tích của $N$

score 0 · Answer 1

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$ và dựng hệ trục tọa độ vuông góc $Oxy$ như sau : Lấy $O$ làm gốc tọa độ, trục hoành $Ox$ chứa $BA$ có chiều dương từ $B$ đến $A$
Gọi $O_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và giả sử trong hệ tọa độ trên tọa độ của $O_1$ là $O_1(0;d)$
Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ khi đó có phương trình :
$x^2+(y-d)^2=a^2+d^2$ hay $x^2+y^2-2dy-a^2=0 (1)$
Giả sử $A,B$ có tọa độ $A(a;0),B(-a;0)$ và gọi $m$ là hệ số góc của $BC$ thì $BC$ có phương trình : $y=m(x+a)$
Tọa độ $(x;y)$ của đỉnh $C$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}y=m(x+a) \\ x^2+y^2-2dy-a^2=0 \end{cases} $
Dễ dàng suy ra điểm $C$ có tọa độ : $C(\frac{a+2dm-a^2m}{a+m^2} ;\frac{2ma+2m^2d}{1+m^2} )$
Theo hệ thức Sa-lơ thì trung điểm $M$ của $AC$ có tọa độ là : $M(\frac{a+dm}{1+m^2};\frac{ma+m^2d}{1+m^2} )$
Do $MN\bot BC$ vậy đường thẳng $MN$ có phương trình (sau khi rút gọn) : $x+my-dm-a=0$
Tọa độ $(x;y)$ của $N$ là nghiệm của hệ sau : $\begin{cases}x+my-dm-a=0 \\ y=m(x+a) \end{cases} $
Khử $m$ trong hệ trên ta có : $\frac{a-x}{y-d}=\frac{y}{x+a} \Leftrightarrow x^2+y^2-dy-a^2=0$
$\Leftrightarrow x^2+(y-\frac{d}{2} )^2=a^2+\frac{d^4}{4} (2)$
Từ $(2)$ suy ra $N$ nằm trên đường tròn tâm tại điểm $(0;\frac{d}{2} )$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+\frac{d^2}{4} } $.Nói khác đi, nếu gọi $O_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,O$ là trung điểm của $AB,E$ là trung điểm của $O_1O$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn tâm $E$ bán kính $EA$

Bài 108365

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108365

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan