Bài 108282

Question

Cho đường tròn cố định và một đường thẳng $\Delta$ cố định không cắt đường tròn. $M$ là một điểm chạy trên $\Delta $. Vẽ hai tiếp tuyến $MT_1,MT_2$ tới đường tròn đã cho (ở đây $T_1,T_2$ là tiếp điểm). Chứng minh rằng khi $M$ chạy trên $\Delta $, thì các đường thẳng nối $T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Gọi $O$ là tâm đường tròn.Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$.Giả sử trong hệ trục tọa độ ấy đường tròn đã cho có phương trình $x^2+y^2=R^2$ và điểm $M$ trên $\Delta $ có tọa độ $M(x_0;y_0)$.Giả sử các tiếp điểm $T_1;T_2$ có tọa độ $T_1(x_1;y_1),T_2(x_2;y_2)$
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $T_1$ là :
$xx_1+yy_1-R^2=0$
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $T_2$ là :
$xx_2+yy_2+R^2=0$
Do hai tiếp tuyến đều qua $M(x_0;y_0)$ nên ta có :
$\begin{cases}x_0x_1+y_0y_1-R^2=0      (1) \\ x_0x_2+y_0y_2-R^2=0    (2) \end{cases} $
Từ $(1),(2)$ suy ra $(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ là nghiệm của phương trình :
$x_0x+y_0y-R^2=0         (3)$
Vì $M$ ở ngoài đường tròn nên $x_0^2+y_0^2\neq 0$, do đó : $(3)$ là phương trình đường thẳng, mà qua $T_1,T_2$ chỉ có một đường thẳng duy nhất, nên $(3)$ chính là phương trình của đường thẳng qua $T_1,T_2$
Giả sử trong các hệ nói trên $\Delta $ có phương trình dưới dạng tham số sau :
$\begin{cases}x=a+\alpha t \\ y=b+\beta t \end{cases} $ với $t\in R$
Do $\Delta $ không cắt đường tròn, nên nói riêng nó không đi qua gốc tọa $O$, tức là ta có : $\frac{a}{b} \neq \frac{\alpha}{\beta} \Leftrightarrow a\beta-b\alpha\neq 0   (4)$
Vì $M(x_0;y_0)\in \Delta $ nên ta có : $\begin{cases}x_0=a+\alpha t_0 \\ y_0=b+\beta t_0 \end{cases} $
Thay vào $(3)$ ta thấy đường thẳng qua $T_1;T_2$ có phương trình là :
$(a+\alpha t_0)x+(b+\beta t_0)y-R^2=0$
$\Leftrightarrow (\alpha x+\beta y)t_0+(ax+by-R^2)=0$
Vậy ta có phương trình họ đường thẳng qua $T_1,T_2$ với tham số $t\in R$ là :
$(\alpha x+\beta y)t_0+(ax+by-R^2)=0       (5)$
Gọi $x*;y*$ là điểm mà họ $(5)$ luôn qua $\forall t$ ta có :
$(\alpha x*+\beta y*)t+(ax*+by*-R^2)=0\forall t       (6)$
Từ $(6)$ nên suy ra hệ sau đây để xác định $(x*;y*):\begin{cases}\alpha x*+\beta y*=0 \\ ax*+by*=R^2 \end{cases} $
Do $(4)$ nên suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất :
$x*=\frac{\beta R^2}{a\beta-b\alpha} ;y*=\frac{\alpha R^2}{b\alpha-a\beta} $
Vậy họ đường thẳng $T_1;T_2$ luôn đi qua điểm cố định :
$S(\frac{\beta R^2}{a\beta-b\alpha};\frac{\alpha R^2}{b\alpha-a\beta} )$

Bài 108282

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108282

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan