Bài 108255

Question

Cho tứ giác lồi $ABCD$.Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.chứng minh rằng các trung điểm các đường chéo của hai tứ giác $ABKI,CDIK$ là bốn đỉnh của một hình bình hành hoặc bốn điểm thẳng hàng

score 0 · Answer 1

chọn hệ tọa độ afin $\left\{ {A;\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD} } \right\} $
Ta có : $A(0;0),B(1;0),D(0;1)$
Giả sử $C(a;b)$.Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $I(0;\frac{1}{2} ),K$ là trung điểm của $BC$ nên $K(\frac{a+1}{2} ;\frac{b}{2} )$
Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $AK,BI,CI,DK$.Ta tìm được tọa độ các điểm đó như sau :
$M(\frac{a+1}{4};\frac{b}{4} ),N(\frac{1}{2};\frac{1}{4} ),P(\frac{a}{2};\frac{2b+1}{4} ),Q(\frac{a+1}{4};\frac{b+2}{4} )$
Ta có: $\overrightarrow {MN}=(\frac{1-a}{4};\frac{1-b}{4} ) ,\overrightarrow {PQ}=(\frac{1-a}{4};\frac{1-b}{4} ) $
Do đó : $\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {PQ} $
Vậy $4$ đỉnh $M,N,P,Q$ tạo nên một hình bình hành hoặc bốn điểm đó thẳng hàng

Cách $2:$
Ta có:
$\overrightarrow{PM} =\frac{1}{2}[( \overrightarrow{PI}+ \overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{AM})+ ( \overrightarrow{PC}+ \overrightarrow{CK}+ \overrightarrow{KM}) ]= \frac{1}{2} ( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{CK} )$
Tương tự : $ \overrightarrow{QN} = \frac{1}{2} ( \overrightarrow{DI} + \overrightarrow{KB} )$
Suy ra: $\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{QN}$
$\Rightarrow 4$ đỉnh $M,N,P,Q$ tạo nên một hình bình hành hoặc bốn điểm đó thẳng hàng

Bài 108255

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108255

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan