Bài 108240

Question

Trên đường tròn tâm $O$ bán kính bẳng $1$ lấy $2n+1$ điểm $P$,$i=\overline {1,2n+1} $ ở cùng một phía đối với một đường kính nào đó.Chứng minh rằng:
$|\sum\limits_{i=1}^{2n+1} \overrightarrow {OP_{i}}| \geq 1 (1)$

score 0 · Answer 1

Ta đi chứng minh $(1)$ bằng phương pháp quy nạp.
*Với $n=0$,$(1)$ hiển nhiên đúng bởi khi đó $|OP_{0}|=1$
*Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$,tức là:
$\sum\limits_{i=1}^{2k+1}|\overrightarrow {OP_{i}}| \geq 1 (2)$
*Ta đi chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$,tức là cần chứng minh:
$\sum\limits_{i=1}^{2k+3}|\overrightarrow {OP_{i}}| \geq 1$ $(3)$
Thật vậy,trong số $2k+3$ vecto trên ta chọn hai vecto có góc tạo bởi chúng lớn nhất,không mất tính tổng quát giả sử chúng là $\overrightarrow {OP_{1}} $ và $\overrightarrow {OP_{2k+3}}$
Đặt $\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {OP_{1}}+\overrightarrow {OP_{2k+3}}; \overrightarrow {ON}=\sum\limits_{i=2}^{2k+2}\overrightarrow {OP_{i}}$
Theo giả thiết quy nạp $(2)$,ta được:
$\rightarrow |\overrightarrow {ON}|=|\sum\limits_{i=2}^{2k+2} \overrightarrow {OP_{i}}| \geq 1$
Nhận xét rằng $\overrightarrow {ON} $ nằm trong góc $\widehat{P_{1}OP_{2k+3}} \le 180^0$ do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow {OM} $ và $\overrightarrow {ON} $ nhọn,suy ra:
$|\sum\limits_{i=1}^{2k+3}\overrightarrow {OP_{i}}|=|\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {ON}|\geq |\overrightarrow {ON} |\geq 1$

Bài 108240

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108240

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan