Bài 108217

Question

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $a$, có hai đường kính vuông góc với nhau là $AB,CD$. Trên tia $CD$ lây hai điểm $M,N$ sao cho $\overrightarrow {CN}=\overrightarrow {OM} $. Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn tại $P$.Hãy xem xét khi $N$ thay đổi trên đoạn $CO$, tam giác $ANP$ có vuông tại $N$ không? Nếu tam giác $ANP$ vuông thì khi đó điểm $N$ nằm ở vị trí nào?

score 0 · Answer 1

Ta chọn hệ tọa độ đề các vuông góc $Oxy$ sao cho $O$ trùng với tâm $O$ của đường tròn, trục $Ox$ trùng với tia $OB$, trục $Oy$ trùng với tia $OC$.
Đặt $CN=OM=l$ với $0\leq l\leq a$.Ta có tọa độ các điểm : $O(0;0),B(a;0),C(0;a),A(-a;0),N(0;a-l),M(0;l)$
Hệ số góc $m$ của đường thẳng $AN$ là :
$m=\frac{y_N-y_A}{x_N-x_A} =\frac{a-l}{a} $
Phương trình đường thẳng $AM$ :
$\frac{x}{-a}+\frac{y}{-l} =1\Leftrightarrow lx+ay+al=0\Rightarrow x=-\frac{a(y+l)}{l} $
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $AM$ và đường tròn tâm $O$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases}lx+ay+al=0 (1) \\ x^2+y^2=a^2 (2) \end{cases} $
Rút $x$ từ $(1)$ thay vào $(2)$ ta có :
$\frac{a^2(y+l)^2}{l^2}+y^2=a^2\Leftrightarrow \frac{a^2(y^2+l^2+2ly)}{l^2}+y^2-a^2=0
$
$\Leftrightarrow (a^2+l^2)y^2+2a^2ly=0\Leftrightarrow y[(a^2+l^2)y+2a^2l]=0\Rightarrow \begin{cases}y=0 \\ y=-\frac{2a^2l}{a^2+l^2} \end{cases} $
Với $y=0$ ta tính được $x=-a$ đây là tọa độ điểm $A(-a;0)$
Với $y_P=-\frac{2a^2l}{a^2+l^2} $ thay vào $(1)$ ta tính được $x_P=\frac{a(a^2-l^2)}{a^2+l^2} $
Hệ số góc $k$ của đường thẳng $NP:k=\frac{y_N-y_P}{x_N-x_P}=\frac{(a-l)(a^2+l^2)+2a^2l}{a(l^2-a^2)} $
Tam giác $ANP$ vuông tại $N\Leftrightarrow AN\bot NP\Leftrightarrow k.m=-1\Leftrightarrow k=-\frac{1}{m} $
Vậy $AN\bot NP\Leftrightarrow \frac{(a-l)(a^2+l^2)+2a^2l}{a(l^2-a^2)} =\frac{-a}{a-l} \Leftrightarrow (a-1)^2.l^2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}l=0\\l=a\end{array} \right. $
Do đó tam giác $ANP$ vuông tại $N$ khi $N\equiv C, N\equiv O$.Các trường hợp khác $\Delta ANP$ không vuông tại $N$

Bài 108217

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108217

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan