Bài 108201

Question

Chứng minh rằng $2<\sqrt{\log_23 }+\sqrt{\log_32 }<\frac{3\sqrt{2 } }{2}$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/15/2012 12:23:28 AM

Ta có $1<\log_23<2\Rightarrow 1<\sqrt{\log_23 }<\sqrt{ 2}$
Và $\log_32=\frac{1}{\log_23} \Rightarrow \sqrt{\log_32 }=\frac{1}{\sqrt{\log_23 }}$
Như vậy $\sqrt{\log_23 }+\sqrt{\log_32 }=\sqrt{\log_23 }+\frac{1}{\sqrt{\log_23 }}$
Đặt $x=\sqrt{\log_23 }$ thì $1<x<\sqrt{2 }$ và $\sqrt{\log_23 }+\sqrt{\log_32 }=x+\frac{1}{x} $
Xét hàm số $f(x)=x+\frac{1}{x} $ với $x\in(1; \sqrt{2 })$
$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}>0, x\in (1; \sqrt{2 })$
Suy ra $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;\sqrt{2 })$, do đó:
$1<x<\sqrt{2 }\Rightarrow f(1)<f(x)<f(\sqrt{ 2})\Leftrightarrow 2<x+\frac{1}{x}<\frac{3\sqrt{ 2} }{2}$
Cho $x= \sqrt{\log_23 }$ ta được $2<\sqrt{\log_23 }+\frac{1}{\sqrt{\log_23 }}<\frac{3\sqrt{ 2} }{2}$
Hay $2< \sqrt{\log_23 }+\sqrt{\log_32 }< \frac{3\sqrt{ 2} }{2}$ (đpcm)

Bài 108201

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108201

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan