Bài 108183

Question

a) Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$ đơn điệu trên tập xác định của nó.
b) Chứng minh rằng hàm số $y=f(x)=2^{\tan x}$ đơn điệu trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi)$ với $k\in Z.$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/14/2012 4:48:54 PM

a) Hàm số $y=f(x)= \frac{2^x-2^{-x}}{2}$ xác định với mọi $x$ thuộc tập $\mathbb{R}$.
Do $2>1$ nên mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ với $x_1<x_2$ ta có $2^{x_2}>2^{x_1}$ và $\frac{1}{2^{x_1}}>\frac{1}{2^{x_2} }$
$f(x_2)=\frac{2^{x_2}-2^{-x_2}}{2} , f(x_1)=\frac{2^{x_1}-2^{-x_1}}{2} $
$f(x_2)-f(x_1)=\frac{1}{2}\left[(2^{x_2}- 2^{x_1})+(\frac{1}{2^{x_1}}-\frac{1}{2^{x_2} }) {} \right]>0$
Vậy $y=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$ là hàm số đồng biến trên tập $\mathbb{R}$.

b) Lấy hai điểm bất kì $x_1, x_2 \in (-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi)$ với $x_1<x_2$
ta có $f(x_1)= 2^{\tan x_1}, f(x_2)=2^{\tan x_2}.$
vì hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng nó xác định, nên nếu $x_1<x_2$ thì $\tan x_1<\tan x_2$.
Mặt khác $g(x)=2^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên:
$\tan x_1<\tan x_2\Rightarrow 2^{\tan x_1}< 2^{\tan x_2}$ hay $f(x_1)<f(x_2)$
Như thế nếu $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$
vậy $f(x)= 2^{\tan x}$ là hàm số đồng biến trên khoẳng $(-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi).$
với $k \in \mathbb{Z}$.

Bài 108183

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108183

1 Đáp án

Liên quan

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lý thuyết liên quan