|
|
a.Giả sử có điểm $O_{1}$ thỏa mãn:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {O_{1}A}+\overrightarrow {O_{1}B}+\overrightarrow {O_{1}C}+\overrightarrow {O_{1}D}$
$=4\overrightarrow {O_{1}O}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=4\overrightarrow {O_{1}O}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {O_{1}O}=\overrightarrow {0}\Leftrightarrow O_{1}\equiv O$
Vậy,tồn tại một điểm $O$ duy nhất thỏa mãn hệ thức vecto đã cho.
b.Gọi $M,N,P,Q,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CD,DA,AC,BD$,ta có lần lượt chứng minh:
*$O$ là trung điểm $MP$ (đoạn nối trung điểm của hai cạnh $AB$ và $CD$),thật vậy:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {OP}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}+\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow O$ là trung điểm $MP$.
*$O$ là trung điểm $NQ$ (đoạn nối trung điểm của hai cạnh $BC$ và $DA$),thật vậy:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {ON}+2\overrightarrow {OQ}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {ON}+\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow O$ là trung điểm $NQ$.
*$O$ là trung điểm $EF$ (đoạn nối trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$),thật vậy:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OE}+2\overrightarrow {OF}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow O$ là trung điểm $EF$.
c.Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$,ta có:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=3\overrightarrow {OG}+\overrightarrow {OD}=-3\overrightarrow {GO}+(\overrightarrow {GD}-\overrightarrow {GO})$
$\Leftrightarrow\overrightarrow {GD}=4\overrightarrow {GO}$
$\Rightarrow G,O,D$ thẳng hàng.
Vậy trọng tâm $O$ nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
|