Bài 108089

Question

$a.$ Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1$.Hãy chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của elip tới một tiếp tuyến bất kỳ của nó là một hằng số
$b.$ Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của elip đã cho với elip $\frac{x^2}{16} +y^2=1$

score 0 · Answer 1

$a.   (E): \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1$ có tiêu điểm $F_1(-\sqrt{5};0 ),F_2(\sqrt{5} ;0)$
Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của elip tại điểm $(x_0;y_0)$ thuộc $(E)$ là :
$\frac{x_0}{9}x+\frac{y_0}{4}y=1 $ hay $\frac{x_0}{9} x+\frac{y_0}{4}y-1=0 $
Khoảng cách $d_1$ từ $F_1$ đến đường thẳng $\Delta $ là :
$d_1=\frac{|-\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } =\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9} +1|}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } $
Khoảng cách $d_2$ từ $F_2$ đến đường thẳng $\Delta $là : $d_2=\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } $
Suy ra $d_1d_2=\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}+1 |}{\sqrt{{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } } =\frac{|\frac{\sqrt{5}x_0 }{9}-1 |}{\sqrt{{\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4} } } }$
Biết $\frac{y_0^2}{4} =1-\frac{x_0^2}{9} $ nên
$d_1d_2=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{|\frac{x_0^2}{9^2}+\frac{1}{4}(1-\frac{x_0^2}{9} ) |}=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{|\frac{1}{4}-\frac{5}{4}.\frac{x_0^2}{9^2}     |}=\frac{|\frac{5x_0 }{9}-1 |}{\frac{1}{4} |(1-\frac{5}{9^2} x_0^2) |}=4$ (hằng số) (đpcm)
$b.$ các giao điểm của hai elip là nghiệm của hệ :
$\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4} =1 \\ \frac{x^2}{16} +y^2=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{4x^2}{9}+y^2=4      (1) \\ \frac{x^2}{16} +y^2= 1           (2)\end{cases} $
- tìm giao điểm $A$ ứng với $x>0,y>0$ Trừ $(1)$ và $(2)$ ta được :
$\frac{4x^2}{9}-\frac{x^2}{16} =3\Leftrightarrow x_A=\frac{12\sqrt{3} }{\sqrt{55} } $
Suy ra $y^2=1-\frac{x^2}{16} =1-\frac{1}{16} .\frac{12^2.3}{55}=\frac{28}{55} \Rightarrow y_A=\frac{\sqrt{28} }{\sqrt{55} } $
Do tính đối xứng nên bốn giao điểm cách đều gốc tọa độ
Ta có : $OA^2=x_A^2+y_A^2=R^2\Rightarrow R=\sqrt{x_A^2+y_A^2} $
Bán kính đường tròn là :
$OA=R=\sqrt{\frac{12^2.3+28}{55} } =\sqrt{\frac{460}{55} } =2\sqrt{\frac{33}{11} } $
Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ là : $x^2+y^2=\frac{92}{11} $

Bài 108089

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108089

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan