Bài 108077

Question

Cho tứ giác $ABCD$. Lấy các điểm $M, N$ theo thứ tự thuộc $AB, CD$ sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB} $ và $\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC} $
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MN}=(1-k).\overrightarrow{AD}+k.\overrightarrow{BC} $
b) Gọi các điểm $E, F, I$ theo thứ tự thuộc $AD, BC, MN$ sao cho $\overrightarrow{AE}=l.\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BF}=l.\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{MI}=l.\overrightarrow{MN} $. Chứng minh rằng $E, F, I$ thẳng hàng

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/14/2012 9:31:39 AM

a) Từ giả thiết với điểm $O$ bất kỳ, ta được:
$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=k(\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA} )    (1)$
$\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}=k(\overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OD} )           (2)$
Trừ theo vế $(2)$ cho $(1)$ ta được:
$(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} )-(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA} )=k(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}    )$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}-\overrightarrow{AD}=k(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD})\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=(1-k)\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{BC}$       (đpcm)

b) Sử dụng kết quả câu a) ta được:
$\overrightarrow{EF}=(1-l).\overrightarrow{AB}+l.\overrightarrow{DC}    (3)$
$\overrightarrow{EI}=(1-l).\overrightarrow{AM}+1\overrightarrow{DN}=(1-l).k.\overrightarrow{AB}+l.k.\overrightarrow{DC}     $
       $=k[(1-l).\overrightarrow{AB}+l.\overrightarrow{DC}]       (4)$
Từ $(3), (4)\Rightarrow \overrightarrow{EI}=k.\overrightarrow{EF} \Leftrightarrow E, F, I$ thẳng hàng

Bài 108077

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108077

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan