Bài 108044

Question

Cho tứ giác $ABCD$, $M$ là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số $k$ và điểm cố định $I,J, K$ sao cho các đẳng thức vecto sau thỏa mãn với mọi điểm $M$
a) $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MI}   (1)$
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} =k\overrightarrow{MJ}   (2)$
c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MK}     (3)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/13/2012 4:43:56 PM

a) Vì $(1)$ thỏa mãn với mọi điểm $M$, do đó đúng với $M\equiv I$, khi đó: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{II} =\overrightarrow{0} (1.1) $
- Từ $(1.1)$ ta được: $2\overrightarrow{IA}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB} )=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} $
$\Rightarrow   $ Xác định được điểm $I$
- Từ $(1.1)$ ta được: $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(2+1)\overrightarrow{MI}=3\overrightarrow{MI}   (1.2) $
Từ $(1)$ và $(1.2)$, suy ra: $3\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{MI} \Leftrightarrow k=3 $
Vậy với $k=3$ thỏa mãn điều kiện đầu bài

b) Vì $(2)$ thỏa mãn với mọi điểm $M$, do đó đúng với $M\equiv J$, khi đó: $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=k\overrightarrow{JJ}=\overrightarrow{0}    (2.1) $
- Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, từ $(2.1)$ ta được: $2\overrightarrow{JE}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow J $ là trung điểm của $CE$
- Từ $(2.1)$, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} +2\overrightarrow{MC}=(1+1+2)\overrightarrow{MJ}=4\overrightarrow{MJ}    (2.2)   $
Từ $(2)$ và $(2.2)$, suy ra: $4\overrightarrow{MJ}=k\overrightarrow{MJ} \Leftrightarrow k=4 $
Vậy với $k=4$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

c) Vì $(3)$ thỏa mãn với mọi điểm $M$, do đó đúng với$M\equiv K$, khi đó: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{KD}=k\overrightarrow{KK}=\overrightarrow{0}     (3.1) $
- Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$, từ (3.1) ta được: $3\overrightarrow{KG}+3\overrightarrow{KC} =\overrightarrow{0} \Leftrightarrow   K$ là trung điểm của $GD$
- Từ $(3.1)$, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=(1+1+1+3)\overrightarrow{MK}=6\overrightarrow{MK}   (3.2)   $
Từ $(3)$ và $(3.2)$, suy ra: $6\overrightarrow{MK}=k\overrightarrow{MK} \Leftrightarrow k=6 $
Vậy, với $k=6$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài 108044

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108044

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan