Bài 107946

Question

Tính tích phân : $I=\int\limits_{\sqrt{2} }^{\sqrt{5} }\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2-1} } $

score 0 · Answer 1

Đặt $x=\frac{1}{\sin 2t} $, vì $x\in[\sqrt{2} ; \sqrt{5} ]$ nên:
            $\sqrt{2}\leq \frac{1}{\sin 2t}\leq \sqrt{5}    \leftrightarrow \frac{1}{ \sqrt{5} }\leq \sin 2t\leq \frac{1}{ \sqrt{2} } $
do đó để thỏa mãn tính chất đơn ánh ta chọn $0<t<\frac{\pi}{4} $
Ta có: $dx=-\frac{2\cos 2tdt}{\sin^22t} $ va lựa chọn hướng xác định nguyên hàm :
            $\int\limits \frac{x^2dx}{ \sqrt{x^2-1} }=-\int\limits \frac{2dt}{\sin^32t}=-\int\limits \frac{2(\cos^2t+\sin^2t)^2dt}{8\sin^3t\cos^3t}   $
                             $=-\frac{1}{4}\int\limits (\cot t.\frac{1}{\sin^2t}+\tan t.\frac{1}{\cos^2t}+\frac{2}{\sin t\cos t})dt    $
                             $=-\frac{1}{4}\int\limits (\cot t.\frac{1}{\sin^2t}+\tan t.\frac{1}{\cos^2t}+\frac{2}{\tan t}.\frac{1}{\cos^2t} )dt $
                             $=-\frac{1}{4}[-\int\limits \cot t d(\cot t )+\int\limits \tan t d(\tan t)+2 \int\limits \frac{d(\tan t)}{\tan t} $
                             $=-\frac{1}{4}(-\frac{1}{2}\cot^2t+\frac{1}{2}\tan ^2t+2\ln|\tan t|+C    $
                             $=\frac{1}{8}(\cot^2t-\tan^2t)-\frac{1}{2}\ln|\tan t|+C $
                             $=\frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln|x-\sqrt{x^2-1} |+C   $
Khi đó:
            $I=(\frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln|x-\sqrt{x^2-1} |)\left| \begin{array}{l}
\sqrt 5 \\
\sqrt 2
\end{array} \right.=\frac{1}{2}(2 \sqrt{5}- \sqrt{2})+\sqrt{5}\ln \frac{\sqrt{2} -1}{\sqrt{5}-2 }      $

Bài 107946

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107946

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan