Bài 107932

Question

Tính tích phân: $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx $

score 0 · Answer 1

Giả sử:
       $\sin x+7\cos x+6=a(4\sin x+3\cos x+5)+b(4\cos x-3\sin x)+c$
$=(4a-3b)\sin x+(3a+4b)\cos x+5a+c$
Đồng nhất thức, ta được:
       $\begin{cases}4a-3b=1 \\ 3a+4b=7\\5a+c=6 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=1\\c=1 \end{cases} $
Khi đó:
      $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(1+\frac{4\cos x-3\sin x}{4\sin x+3\cos x+5)}+\frac{1}{4\sin x+3\cos x+5})dx   $
       $=(x+\ln |4\sin x+3\cos x+5|)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5} $
       $=\frac{\pi}{2}+\ln 3+ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$       (1)
Với tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$ ta đặt $t=\tan \frac{x}{2} $ suy ra:
      $dx=\frac{2dt}{1+t^2} $ & $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} $ & $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} $
Đổi cận:
+) Với $x=0 \rightarrow t=0$
+) Với $x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=1 $
Khi đó:
     $J=\int\limits_{0}^{1}\frac{2 dt}{8t+3(1-t^2)+5(1+t^2)}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+2)^2}=-\frac{1}{t+2}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.   =\frac{1}{6}                   (2)$
Thay (2) vào (1) ta được: $I=\frac{\pi}{2}+\ln 3+\frac{1}{6} $

Bài 107932

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107932

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan