Bài 107859

Question

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$. Cho $AB=a, AC=b, AA'=c$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $B$ và vuông góc với $CB'$
1) Tìm điều kiện $a,b,c$ để $(\alpha )$ cắt cạnh $CC'$ tại $I(I\neq C, I\neq C')$
2) Với điều kiện ở câu 1, hãy:
a. Xác định và tính diện tích thiết diện
b. Tính $cos\varphi$ góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy
c. Thiết diện có thể chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau được không

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 2:39:39 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;b;0), A'(0;0;c), B'(a;0;c), C'(0;b;c)$
$1)$ Ta có: $\overrightarrow{CB'}=(a;-b;c) $
$\Rightarrow $ Phương trình $(\alpha ):a(x-a)-by+cz=0\Leftrightarrow ax-by+cz-a^2=0$
$I\in CC'\Rightarrow I(0;b;z_0), I\in (\alpha )\Rightarrow z_0=\frac{a^2+b^2}{c} $
Để $I\in CC'\Rightarrow 0<\frac{a^2+b^2}{c} \Leftrightarrow c^2>a^2+b^2$

$2)$
a.Gọi $J$ là giao điểm của $\alpha $ và đường thẳng $AA'\Rightarrow J(0;0;z)$
$\Rightarrow $ thiết diện là tam giác $BIJ$
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta B{\rm{IJ}}}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {BI} {\rm{,}}\overrightarrow {BJ} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\left( { - a;b;\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \right),\left( { - a;0;\frac{{{a^2}}}{c}} \right)} \right]} \right|\\
= \frac{{ab}}{{2c}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}$

$b.$ Ta có: $\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta BIJ}}}} = c{\rm{os}}\varphi $ (do $\Delta BIJ$ có hình chiếu lên đáy là $\Delta ABC$)
$ \Rightarrow c{\rm{os}}\varphi = \frac{{\frac{{ab}}{2}}}{{\frac{{ab}}{{2c}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$c.$ Gọi $V$ là thể tích hình lăng trụ và $V_1$ là thể tích hình chóp $B.ACIJ$
Ta có: $V=\frac{1}{2}AB.AC.AA'=\frac{abc}{2} $
$V_1=\frac{1}{3}AB.AC.\frac{CI+AJ}{2} =\frac{ab(2a^2+b^2)}{6c} $
$V_1=\frac{1}{2}V\Leftrightarrow \frac{ab(2a^2+b^2)}{6c} =\frac{abc}{4}\Leftrightarrow 4a^2+2b^2=3c^2.3a^2+3b^2 \Leftrightarrow a>b $
Vậy với điều kiện ở câu 1, thiết diện chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau khi $a>b$

Bài 107859

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107859

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan