Bài 107859

Question

Cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại

$A$ . Cho

$AB=a, AC=b, AA'=c$ . Mặt phẳng

$(\alpha )$ qua

$B$ và vuông góc với

$CB'$
1) Tìm điều kiện

$a,b,c$ để

$(\alpha )$ cắt cạnh

$CC'$ tại

$I(I\neq C, I\neq C')$
2) Với điều kiện ở câu 1, hãy:
a. Xác định và tính diện tích thiết diện
b. Tính

$cos\varphi$ góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy
c. Thiết diện có thể chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau được không

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 2:39:39 PM

Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ sao cho:

$A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;b;0), A'(0;0;c), B'(a;0;c), C'(0;b;c)$

$1)$ Ta có:

$\overrightarrow{CB'}=(a;-b;c)$

$\Rightarrow$ Phương trình

$(\alpha ):a(x-a)-by+cz=0\Leftrightarrow ax-by+cz-a^2=0$

$I\in CC'\Rightarrow I(0;b;z_0), I\in (\alpha )\Rightarrow z_0=\frac{a^2+b^2}{c}$
Để

$I\in CC'\Rightarrow 0<\frac{a^2+b^2}{c} \Leftrightarrow c^2>a^2+b^2$

$2)$
a.Gọi

$J$ là giao điểm của

$\alpha$ và đường thẳng

$AA'\Rightarrow J(0;0;z)$

$\Rightarrow$ thiết diện là tam giác

$BIJ$

$\begin{array}{l} {S_{\Delta B{\rm{IJ}}}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {BI} {\rm{,}}\overrightarrow {BJ} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\left( { - a;b;\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \right),\left( { - a;0;\frac{{{a^2}}}{c}} \right)} \right]} \right|\\ = \frac{{ab}}{{2c}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}$

$b.$ Ta có:

$\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta BIJ}}}} = c{\rm{os}}\varphi$ (do

$\Delta BIJ$ có hình chiếu lên đáy là

$\Delta ABC$ )

$\Rightarrow c{\rm{os}}\varphi = \frac{{\frac{{ab}}{2}}}{{\frac{{ab}}{{2c}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$c.$ Gọi

$V$ là thể tích hình lăng trụ và

$V_1$ là thể tích hình chóp

$B.ACIJ$
Ta có:

$V=\frac{1}{2}AB.AC.AA'=\frac{abc}{2}$

$V_1=\frac{1}{3}AB.AC.\frac{CI+AJ}{2} =\frac{ab(2a^2+b^2)}{6c}$

$V_1=\frac{1}{2}V\Leftrightarrow \frac{ab(2a^2+b^2)}{6c} =\frac{abc}{4}\Leftrightarrow 4a^2+2b^2=3c^2.3a^2+3b^2 \Leftrightarrow a>b$
Vậy với điều kiện ở câu 1, thiết diện chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau khi

$a>b$

Bài 107859

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107859

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan