|
|
Viết lại phương trình của $(H):\frac{x^2}{1} -\frac{y^2}{4} =1$
$a^2=1\Rightarrow a=1;b^2=4\Rightarrow b=2;c^2=a^2+b^2=5$
$c=\sqrt{5};e=\frac{c}{a} =\sqrt{5} $
$(H)$ có các tiêu điểm : $F_1(-\sqrt{5};0 ),F_2(\sqrt{5};0 )$
$a.$ gọi $M(x;y)$ là điểm cần tìm.Ta có :
$\overrightarrow {F_1M} =(x+\sqrt{5};y ),\overrightarrow {F_2M}=(x-\sqrt{5};y ) $
$F_1M\bot F_2M\Rightarrow \overrightarrow {F_1M}.\overrightarrow {F_2M}=0 $
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{5} )(x-\sqrt{5} )+y^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2-5=0 (1)$
$M\in (H)\Leftrightarrow 4x^2-y^2-4=0 (2)$
Giải hệ $(1),(2)$ ta được : $x=\pm \frac{3}{\sqrt{5} } ;y=\pm \frac{4}{\sqrt{5} } $
Vậy có bốn điểm cần tìm là :
$( \frac{3}{\sqrt{5} }; \frac{4}{\sqrt{5} }), ( \frac{3}{\sqrt{5};- \frac{4}{\sqrt{5} } }),(- \frac{3}{\sqrt{5} }; \frac{4}{\sqrt{5} }), (- \frac{3}{\sqrt{5} };- \frac{4}{\sqrt{5} })$
$b.$ gọi $N(x;yO$ là điểm cần tìm $N\in (H)\Rightarrow |NF_1-NF_2|=2a=2$
Trong tam giác $F_1NF_2$ ta có :
$F_1F_2^2=F_1N^2+F_2N^2-2F_1N.F_2Ncos\widehat{F_1NF_2} $
$=(F_1N-F_2N)^2+2F_1N.F_2N-2F_1N.F_2.N.cos120^0$
$=4+3F_1N.F_2N=4+3|a+\frac{c}{a}x |.|a-\frac{c}{a}x |=4+3|a^2-\frac{c^2}{a^2} x^2|$
$\Rightarrow 4c^2=4+3|1-5^2|\Leftrightarrow 4.5=4+3|1-5x^2|\Leftrightarrow |1-5x^2|=\frac{16}{3} $
$\Rightarrow x^2=\frac{19}{15} \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{19}{15} } $
Thay $x=\pm \sqrt{\frac{19}{15} } $ vào phương trình của $(H)$ ta tính được : $y=\pm \frac{4}{\sqrt{15} } $ Vậy có bốn điểm cần tìm.
$c.$ Do $(H)$ nhận $Ox,Oy$ là các trục đối xứng, nên ta chỉ cần xét những điểm $(x;y)$ của $(H)$ mà : $x;y$ nguyên $x\geq 0;y\geq 0$ rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục $Ox,oy$
Ta có : $4x^2-y^2-4=0\Leftrightarrow (2x-y)(2x+y)=4 (1)$
Do $2x-y,2x+y$ nguyên và $2x+y\geq 2x-y$ nên từ $(1)$ là có các trường hợp :
$\begin{cases}2x-y=1 \\ 2x+y=4 \end{cases} (2) \begin{cases}2x-y=2 \\ 2x+y=2 \end{cases} (3)$
Hệ $(2)$ không có nghiệm nguyên, hệ $(3)$ có một nghiệm nguyên là : $\begin{cases}x= 1\\ y=0 \end{cases} $
Vậy những điểm trên $(H)$ có tọa độ nguyên là $(1;0)(-1;0)$
|