Bài 107768

Question

Cho hàm số:
$f(x)=\begin{cases}\cos \frac{\pi x}{2} ; |x|\leq 1 \\ |x-1| ; |x|>1 \end{cases} $
1, Chứng tỏ rằng hàm số liên tục toàn trục số
2. Với kết quả từ câu 1) hãy tính $\int\limits_{-2}^{3}f(x)dx $

score 0 · Answer 1

Viết lại hàm số dưới dạng:
       $f(x)=\begin{cases}x-1 ; x>1 \\ \cos \frac{\pi x}{2} ; |x|\leq 1\\1-x ; x<-1 \end{cases} $
1. Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; -1)\infty \bigcup (-1; 1)\infty \bigcup (1; +\infty ) $
+) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=1$ ta có:
       $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}(x-1)=0 $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\cos \frac{\pi x}{2} =0 $
       $f(1)=0$
Suy ra hàm số liên tục tại điểm $x=1$
+) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=-1$ ta có:
       $\mathop {\lim }\limits_{x \to -1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to -1^+}\cos \frac{\pi x}{2} =0 $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to -1^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to -1^-}(1-x)=0 $
       $f(-1)=0$
Suy ra hàm số liên tục tại điểm $x=-1$
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số
2. Ta có ngay:
       $\int\limits_{-2}^{3} f(x)dx=\int\limits_{-2}^{-1}f(x)dx+\int\limits_{-1}^{1}f(x)dx+\int\limits_{1}^{3}f(x)dx   $
$=\int\limits_{-2}^{-1}(1-x)dx+\int\limits_{-1}^{1}\cos \frac{\pi x}{2}dx+\int\limits_{1}^{3}(x-1)dx    $
$=(x-\frac{1}{2}x^2)\left| \begin{array}{l}
-1\\
-2
\end{array} \right. +\frac{2}{\pi}\sin \frac{\pi x}{2}\left| \begin{array}{l}
1\\
-1
\end{array} \right.+(\frac{1}{2}x^2-x)\left| \begin{array}{l}
3\\
1
\end{array} \right. =\frac{9}{2}-\frac{4}{\pi}    $

Bài 107768

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107768

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan