Bài 107729

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đề các vuông góc $Oxy$ cho elip $(E): \frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{4} =1$ và hai đường thẳng : $d :ax-by=0; d':bx+ay=0$ với $a^2+b^2>0$. Gọi $M,N$ là các giao điểm của $d$ với $(E)$. Gọi $P,Q$ là các giao điểm của $d'$ với $(E)$
$a.$ Tính diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a,b$
$b.$ Tìm điều kiện đối với $a,b$ để diện tích tứ giác $MNPQ$ nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Xét hai trường hợp :
-Với $a,b=0\Rightarrow d,d'$ trùng với các trục tọa độ $\Rightarrow S_{MNPQ}=4.3=12$ (đvdt)
- Với $a,b\neq 0$ và $k=\frac{a}{b} \neq 0$
Đường thẳng $d:y=kx$; đường thẳng $d':y=-\frac{1}{k}x $
$M$ là giao điểm của $d$ và $(E)\Rightarrow x_M^2+9k^2x_M^2=36\Rightarrow x_M^2=\frac{36}{4+9k} $
Ta có : $OM=\sqrt{x_M^2+y_M^2}=\sqrt{x_M^2(1+k^2)}=\frac{6(\sqrt{1+k^2} )}{\sqrt{4+9k^2} } $
Tương tự ta tính được $OP=\frac{6\sqrt{1+k^2} }{\sqrt{4k^2+9} } $
Diện tích tứ giác $MNPQ :$
$S_{MNPQ}=2OM.OP=\frac{72(1+k^2)}{\sqrt{(4+9k^2)(4k^2+9)} } =\frac{72(a^2+b^2)}{\sqrt{(4b^2+9a^2)(4a^2+9b^2)} } $
$b.$ Ta có : $\frac{1}{OM^2} +\frac{1}{OP^2} =\frac{4+9k^2}{36(1+k^2)} +\frac{9+4k^2}{36(1+k^2)} =\frac{13}{36} $
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
$\frac{1}{OM^2} +\frac{1}{OP^2} \geq \frac{2}{OM.OP}=\frac{4}{S_{MNPQ}} $
$\Rightarrow \frac{13}{36} \geq \frac{4}{S} \Leftrightarrow S_{MNPQ}\geq \frac{144}{13} $ (đvdt)
Khi đó : $\frac{1}{OM^2} =\frac{1}{OP^2} \Leftrightarrow OM^2=OP^2\Leftrightarrow k^2=1\Leftrightarrow |a|=|b|\neq 0$

Bài 107729

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107729

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan