Bài 107724

Question

Cho $(E): 4x^2+9y^2=36, M(1;1)$. Lập phương trình đường thẳng đi qua $M$ và cắt $(E)$ tại $M_1,M_2$ sao cho $MM_1=MM_2$

score 0 · Answer 1

Đường thẳng $d$ qua $M(1;1)$, hệ số góc $k$ có phương trình : $y=k(x-1)+1$
Vì $OM=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},OM<2=b $ nên $M$ ở phần trong elip $(E)$
Vậy $d$ cắt elip tại hai điểm $M_1,M_2$
Tọa độ $M_1,M_2$ là hai nghiệm của phương trình :
$4x^2+9(kx-k+1)^2-36=0$
$\Leftrightarrow 4x^2+9(k^2x^2+k^2+1-2k^2x+2kx-2k)-36=0$
$\Leftrightarrow (4+9k^2)x^2-18(k-1)kx+9(k^2-2k-3)=0$
Theo bài ra : $MM_1=MM_2$ giả sử hoành độ của $M_1,M_2$ là $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow (x_1-1)^2+(y_1-1)^2=(x_2-1)^2+(y_2-1)^2$
$\Leftrightarrow (x_1-1)^2-(x_2-1)^2=(y_2-1)^2-(y_1-1)^2$
$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=(y_2-y_1)(y_2+y_1-2)$
Vì $M_1,M_2 \in d\Rightarrow y_1=k(x_1-1)+1\Rightarrow y_2=k(x_2-1)+1$
$\Rightarrow y_2-y_2=k(x_2-x_1);y_2+y_1=k(x_1+x_2-2)+2$
$\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=k(x_2-x_1).k(x_1+x_2-2)$
Vì $M_1\neq M_2\Rightarrow (x_1+x_2-2)=-k^2(x_1+x_2-2)$
$\Rightarrow x_1+x_2=2$ ta có $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a} =\frac{18(k-1)k}{4+9k^2} =2\Leftrightarrow k=-\frac{4}{9} $
Suy ra phương trình đường thẳng $d$
$y=-\frac{4}{9} (x-1)+1\Leftrightarrow y=-\frac{4}{9} x+\frac{13}{9} \Leftrightarrow y=-\frac{1}{9} (4x-13)$
Khi đường thẳng $d$ qua $M$ và song song với $Oy$ thì $MM_1\neq MM_2$ (loại)

Bài 107724

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107724

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan