Bài 107699

Question

Trên mặt phẳng $Oxy$ viết phương trình chính tắc của elip $(E)$
$a.$ Có tâm là gốc tọa độ và đi qua hai điểm $P(1;-3),Q(\frac{\sqrt{3} }{2};4 )$
$b.$ Có tiêu điểm $F_1(-4;0)$ có độ dài trục lớn bằng $12$. Tìm những điểm nằm trên elip có bán kính qua tiêu điểm này bằng ba lần bán kính qua tiêu điểm kia
$c.$ Có hai tiêu điểm $F_1(-2\sqrt{2};0 );F_2(2\sqrt{2};0 )$ và đi qua điểm $A(1;\frac{2\sqrt{2} }{3} )$. Tìm những điểm trên $(E)$ nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông

score 0 · Answer 1

$a.$ Phương trình chính tắc của $(E) :\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)$
$(E)$ đi qua hai điểm $P(1;-3),Q(\frac{\sqrt{2} }{3};4 )$ ta có hệ phương trình :
$\begin{cases}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1   \\ \frac{2}{9a^2}+\frac{16}{b^2}=-1   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a^2=2 \\ b^2=18 \end{cases} $
Vô lý với $a>b>0$ nên không tồn tại phương trình chính tắc
$b.$ Phương trình chính tắc của $(E) : \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$
$(E)$ có tiêu điểm $F_1(-4;0)\Rightarrow c=4$
$(E)$ có độ dài trục lớn là $12\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6$
$b^2=a^2-c^2\Rightarrow b^2=36-16=20$
Nên phương trình của elip $\frac{x^2}{36} +\frac{y^2}{20} =1$
$(E)$ có hai tiêu điểm $F_1(-4;0),F_2(4;0)$ nằm trên trục $Ox$, nửa trục lớn,nửa trục nhỏ, nửa tiêu cự lần lượt là $a=6,b=2\sqrt{5},c=4 $
Gọi $M$ là điểm phải tìm ta có : $F_1M=3F_2M$ hoặc $F_2M=3F_1M$
$\Leftrightarrow (F_1M-3F_2M)(F_2M)-3F_1M=0$
$\Leftrightarrow 10F_1M.F_2M-3(F_1M^2+F_2M^2)=0$
$\Leftrightarrow 16F_1M.F_2M-3(F_1M+F_2M)^2=0$
$\Leftrightarrow 16(a+ex_M)(a-ex_M)=12a^2.(F_1M+F_2M=2a)$
$\Leftrightarrow 16(a^2-e^2x_M^2)=12\Leftrightarrow 4e^2x_M^2=a^2$
$\Leftrightarrow x_M^2=\frac{a^4}{4c^2}(e=\frac{c}{a} ) $
$\Leftrightarrow x_M=\pm \frac{a^2}{2c} =\pm\frac{36}{8} =\pm \frac{9}{2}\Leftrightarrow y_M=\pm \frac{\sqrt{63} }{12} $
Vậy có bốn điểm thỏa mãn điều kiện đề bài :
$(\frac{9}{2};\pm\frac{\sqrt{63} }{12} ),(-\frac{9}{2} ;\pm \frac{\sqrt{63} }{12} )$
$c.$ Phương trình chính tắc của $(E) : \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$
Ở đây $c=2\sqrt{2} $
$(E)$ đi qua điểm $A(1;\frac{2\sqrt{2} }{3} )$ nên $\frac{1}{a^2} +\frac{8}{9b^2} =1$
Vậy ta có hệ phương trình :
$\begin{cases}a^2-b^2=8 \\ \frac{1}{a^2}+\frac{8}{9b^2}=1   \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2= 9\\ b^2=1 \end{cases} $
Do đo $(E)$ phải tìm : $(E): \frac{x^2}{9}+y^2=1 $
Những điểm nhìn $F_1F_2$ dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường kính $F_1F_2$ chính là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính $R=2\sqrt{2} $, nên có phương trình : $x^2+y^2=8$
Những điểm này nằm trên $(E)$ nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}\frac{x^2}{9}+y^2=1 \\ x^2+y^2=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=\pm\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases} $
Vậy bốn điểm thỏa mãn điều kiện đề bài :
$\begin{cases}x=\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases}      \begin{cases}x=-\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases} $

Bài 107699

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107699

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan