Bài 107567

Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn $Oxy$, đường thẳng $d_{\alpha}$ có phương trình :
$xcos\alpha+ysin\alpha+2cos\alpha+1=0$ ($\alpha$ là tham số)
$a.$ Chứng minh rằng khi $\alpha$ thay đổi, $d_{\alpha}$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
$b.$ Cho điểm $M(-2;1)$. Hạ $HM$ vuông góc với $d_{\alpha}$ ($H\in d_{\alpha}$) kéo dài $MH$ cho một đoạn $HN=2MH$. Tính tọa độ của $N$ theo $\alpha$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $I(x_0;y_0)$ là điểm cố định thì khoảng cách từ điểm cố định đó đến đường thẳng $d_{\alpha}$ là :
$d(I,d_{\alpha})=\frac{|x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha+2\cos\alpha+1|}{\sqrt{\cos ^2\alpha+\sin^2\alpha} } $
$d(I,d_{\alpha})=|(x_0+2)\cos\alpha+y_0\sin\alpha+1|$
Với $x_0=-2$ và $y_0=0\Rightarrow $ đường thẳng $d_{\alpha}$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $(-2;0)$ và bán kính $R=1$
$b.$ Đường thẳng qua $M(-2;0)$ và vuông góc với $d_{\alpha}$ có phương trình :
$\frac{x+2}{\cos \alpha}=\frac{y-1}{\sin\alpha} $
$\Leftrightarrow x\sin \alpha-y.\cos\alpha+2\sin\alpha+\cos\alpha=0$
Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}x\cos\alpha +y\sin\alpha+2\cos\alpha+1=0 \\ x\sin\alpha-y\cos\alpha+2\sin\alpha+\cos\alpha=0 \end{cases} $
Giải ra, ta được tọa độ của $H$
$H(-2-\cos\alpha(1+\sin\alpha);\cos^2\alpha-\sin\alpha)$
Biết $HN=2MH\Rightarrow HN=3MH\Rightarrow \overrightarrow {MN}=3\overrightarrow {MH} $
Gọi tọa độ của $N$ là $(x;y)$ ta có :
$\overrightarrow {MN}=(x+2;y-1) $
$\overrightarrow {MN}=(-2-\cos\alpha(1+\sin\alpha)+2;\cos^2\alpha-\sin\alpha) $
$=(-\cos\alpha(1+\sin\alpha);-\sin\alpha(1+\sin\alpha))$
$\Rightarrow \overrightarrow {MN}=3\overrightarrow {MH} \Rightarrow \begin{cases}x+2=-3\cos\alpha(1+\sin\alpha) \\ y-1=-3\sin\alpha(1+\sin\alpha) \end{cases} $
Vậy tọa độ của điểm $N$ là $\begin{cases}x=-2-3\cos\alpha(1+\sin\alpha) \\ y=1-3\sin\alpha(1+\sin\alpha) \end{cases} $

Bài 107567

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107567

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan