Bài 107529

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $\Delta SAD$ đều và $(SAD)\bot (ABCD). H$ là trung điểm $AD$
a) Tính $d(D,(SBC)); d(HC,SD)$
b) $mp(\alpha )$ qua $H$ và vuông góc với $SC$ tại $I$. Chứng tỏ $(\alpha )$ cắt các cạnh $SB, SD$ và tính $[B, SC, D]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 8:59:33 AM

Ta có $SA\bot AD$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SH\bot (ABCD)\\ SH=\frac{a\sqrt{3} }{2} \end{array} \right. (\Delta SAB đều)$
Chọn hệ trục tọa độ $Hxyz$ sao cho: $H(0;0;0), A(\frac{a}{2};0;0), S(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} )$
$\Rightarrow D(-\frac{a}{2};0;0 ), B(\frac{a}{2};a;0 ), C(-\frac{a}{2};a;0 )$

a) Ta có:
$\begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{(SBC)}} = {\rm{[}}\overrightarrow {SB} {\rm{,}}\overrightarrow {SC} {\rm{] = }}\left[ {\left( {\frac{a}{2};a;\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( { - \frac{a}{2};a;\frac{{ - a\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right] = \frac{{{a^2}}}{2}(0;\sqrt 3 ;2)\\
\Rightarrow (SBC):\sqrt 3 y + 2z - a\sqrt 3 = 0 \Rightarrow d(D,(SBC)) = a\sqrt {\frac{3}{7}} \\
d(HC,SD) = \frac{{|{\rm{[}}\overrightarrow {HC} {\rm{,}}\overrightarrow {SD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {HS} |}}{{|\overrightarrow {HC} {\rm{,}}\overrightarrow {SD} {\rm{]}}|}} = \frac{{\left| {\left[ {\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),\left( { - \frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right]\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right|}}{{\left| {\left[ {\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),\left( { - \frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right]} \right|}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{19}}
\end{array}$

b) Ta có: $\overrightarrow{SC}=-\frac{a}{2}(1;-2;\sqrt{3} ) \Rightarrow $ Phương trình $(\alpha ):x-2y+\sqrt{3}z=0 $
Phương trình tham số $SC:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=-2t\\z=\frac{a\sqrt{3} }{2}+\sqrt{3}t   \end{array} \right. $
$\Rightarrow I(-\frac{3a}{16};\frac{6a}{16};\frac{5a\sqrt{3} }{16}   )$
$\overrightarrow{SB}=\frac{a}{2}(1;2;-\sqrt{3} ) \Rightarrow $ Phương trình tham số $SB:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=2t\\z=\frac{a\sqrt{3} }{2}-\sqrt{3}t   \end{array} \right. $
Gọi $M=SB\cap (\alpha )\Rightarrow M(\frac{a}{4};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{4}   )$
Vì $x_S<x_M<x_B$ nên $M\in SB$
$\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3} }{2} )=-\frac{a}{2}(1;0;\sqrt{3} ) $
$\Rightarrow $ Phương trình tham số $SD:\left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{a}{2}+t \\ y=0\\z=\sqrt{3}t \end{array} \right. $
Gọi $N=SD\cap (\alpha )\Rightarrow N(-\frac{3a}{8};0;\frac{a\sqrt{3} }{8} )$
Vì $x_D<x_N<x_S\Rightarrow N\in SB$
Tính $[B,SC,D]=\varphi$
$cos\varphi=cos\widehat{MIN}=\frac{\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN} }{IM.IN}=\frac{\frac{a}{16}(7;2;-\sqrt{3} ).(-\frac{3a}{6} ).(1;2;\sqrt{3} ) }{\frac{a}{16}.\frac{3a}{16}\sqrt{(49+4+3)(1+4+3)}   } =\frac{\sqrt{7} }{7} $
Vậy $cos\varphi=\frac{\sqrt{7} }{7} $

Bài 107529

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107529

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan