Bài 107474

Question

Cho dãy $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=2cos\left[ {\frac{\pi}{3}\left ( 1-\frac{1}{(-2)^{n+1}} \right ) } \right] $
a) Tính $u_1,u_2,u_3, u_4, u_5$
b) Chứng minh $u_n=\sqrt[]{2-u_{n-1}} $
c) Suy ra dãy trên có thể viết: $\sqrt2, \sqrt{2-\sqrt2}, \sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt2}},...$

score 0 · Answer 1

a) $u_1=2\cos \frac{\pi}{4}; u_2=2\cos \frac{3\pi}{8};   u_3=2\cos \frac{5\pi}{16};   u_4=\cos \frac{11\pi}{32};   u_5=2\cos \frac{21\pi}{64}$

b) $u_{n-1}= 2\cos \left[ {\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3(-2)^n} } \right]$
     $2-u_{n-1}=2\left ( 1-\cos\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3(-2)^n} \right ) \right ) =4\sin^2\left ( \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6(-2)^n} \right)=4 \cos^2 \left ( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6(-2)^n}\right)$
     $2-u_{n-1}=4\cos^2\left (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}.\frac{1}{(-2)^{n+1}}\right )=4\cos^2 \left[ {\frac{\pi}{3}\left ( 1-\frac{1}{(-2)^{n+1}}\right ) } \right] $
     $2-u_{n-1}=u_n^2 \Rightarrow u_n=\sqrt{2-u_{n-1}}$ (đpcm)

c) $u_1=2cos \frac{\pi}{4}=\sqrt 2 , u_2=\sqrt {2-\sqrt2}$ ( suy từ câu b);
Tương tự $u_3=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt2}}; u_m=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt2}}}$,...

Bài 107474

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107474

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan