Bài 107406

Question

Lập phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $Q(2;3)$ và cắt các tia $Ox;Oy$ tại hai điểm $M,N$khác điểm $O$ sao cho $OM+ON$ nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

Giả sử $M=(m;0),N=(0;n)$ với $m,n>0$
Phương trình của $\Delta $ là $\frac{x}{m} +\frac{y}{n} =1$
$Q\in \Delta \Rightarrow \frac{2}{m} +\frac{3}{n} =1\Rightarrow n=\frac{3m}{m-2} $ (dễ thấy $m\neq 2$)Do $n>0$ nên $m>2$
Áp dụng bất đẳng thức côsi, ta có :
$OM+ON=m+n=m+\frac{3m}{m-2} $
$=m-2+\frac{6}{m-2} +5\geq 2\sqrt{(m-2).\frac{6}{m-2} }+5=2\sqrt{6}+5 $
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $m-2=\frac{6}{m-2} $ hay $m=2+\sqrt{6} $ (do $m>0$)
Suy ra $n=3+\sqrt{6} $.Vậy $OM+ON$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{6}+5 $khi $m=2+\sqrt{6} $ và $n=3+\sqrt{6} $.Khi đó phương trình của $\Delta $ là: $\frac{x}{2+\sqrt{6} }+\frac{y}{3+\sqrt{6} } =1$

Bài 107406

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107406

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan