Bài 106985

Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A(2 ; \sqrt{ 3})$ và Elip (E) $\frac{ x^{2} }{3}+ \frac{ y^{2}}{2}=1$. Gọi $F_{1}, F_{2}$ là các tiêu điểm của (E) ($F_{1}$ có hoành độ âm) ; M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng $AF_{1}$ với (E) ; N là điểm đối xứng của $F_{2}$ qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF_{2}.$

score 0 · Answer 1

Ta có: $A(2 ; \sqrt{ 3}), (E) : \frac{ x^{2} }{3}+ \frac{ y^{2}}{2}=1 \Rightarrow c^{2} =3-2=1$
$\Rightarrow c=1 \Rightarrow F_{1}(-1 ;0), F_{2}(1 ;0)$
Phương trình đường thẳng $AF_{1}: \frac{ x+1}{3}= \frac{ y}{ \sqrt{ 3}} \Leftrightarrow x- \sqrt{ 3}y+1=0 \Leftrightarrow x= \sqrt{ 3}y-1$
Thế vào phương trình $(E): 2 x^{2} + 3y^{2}-6=0$
$\Leftrightarrow 2 \left( \sqrt{ 3}y-1   \right) ^{2}+ 3y^{2}-6=0 \Leftrightarrow 9 y^{2}- 4 \sqrt{ 3}-4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y= \frac{ -2 \sqrt{ 3}}{9} (L) \\ y= \frac{ 2 \sqrt{ 3}}{3 } \Rightarrow x=1 \Rightarrow M(1 ; \frac{ 2 \sqrt{ 3}}{2}) \end{array} \right. $
Gọi $N(x;y: )$ M là trung điểm của đoạn thẳng $F_{2}N$ nên
$\begin{cases} x+1=2   \\   y+0= \frac{ 4 \sqrt{ 3}}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ y= \frac{ 4 \sqrt{ 3}}{3}   \end{cases} \Rightarrow N(1; \frac{ 4 \sqrt{ 3}}{3})$
$\overrightarrow{AF_{2}}=(-1; - \sqrt{ 3}); \overrightarrow{AN}=(-1; \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}}) \Rightarrow \overrightarrow{AF_{2}} . \overrightarrow{AN} =0 : $ tam giác $ANF_{2}$ vuông tại A.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF_{2}$ là trung điểm I của đoạn $AF_{2}$
$I(1; \frac{ 2 \sqrt{ 3}}{3})$
Bán kính đường tròn $(ANF_{2}): R=\frac{ 1}{2}NF_{2}= \frac{ 1}{2}. \frac{ 4 \sqrt{ 3}}{3}$
Suy ra phương trình đường tròn $(ANF_{2}): \left( x-1   \right)^{2} + \left( y- \frac{ 2 \sqrt{ 3}}{3}   \right)^{2} =\frac{ 4}{3}$

Bài 106985

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106985

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan