Bài 106938

Question

Giả sử phép dời hình $f$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng:
a) Trọng tâm tam giác $ABC$ biến thành trọng tâm tam giác $A'B'C';$
b) Trực tâm tam giác $ABC$ biến thành trực tâm tam giác $A'B'C';$
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $A'B'C'$.

phuongna · Answer 1 · 6/5/2012 3:47:01 PM

a) Gọi $D$ là trung điểm đoạn thẳng $BC$ thì phép dời hình $f$ biến điểm $D$ thành trung điểm $D'$ của đoạn thẳng $B'C'$ và vì thế trung tuyến $AD$ của tan giác $ABC$ biến thành trung tuyến $A'D'$ của tam giác $A'B'C'$. Đối với hai trung tuyến còn lại cũng thế. Vì trọng tâm tam giác là điểm gặp nhau của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác $ABC$ biến thành trọng tâm tam giác $A'B'C'$.

b) Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC (H \in BC).$ Khi đó qua phép biến hình $f$, điểm $H$ biến thành điểm $H'\in B'C'$, tam giác $ABH$ biến thành tam giác $A'B'H'$ nên hai tam giác đó bằng nhau. Suy ra góc $A'B'H'$ vuông tại $H'$, vậy $A'H'$ là đường cao của tam giác $A'B'C'$.
Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác tam giác là điểm gặp nhau của các đường cao nên trực tâm tam giác $ABC$ biến thành trực tâm tam giác $A'B'C'$.

c) Nếu $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $OA=OB=OC$ nên nếu điểm $O$ biến thành điểm $O'$ thì
$O'A'=O'B'=O'C',$
do đó $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$ .
Nếu $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ thì $I$ biến thành điểm $I'$ sao cho $A'I'$ và $B'I'$ lần lượt là phân giác của goác $A'$ và $B'$ (do phép dời hình biến các góc bằng nhau thành các góc bằng nhau), suy ra $I'$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C'$.

Bài 106938

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106938

1 Đáp án

Liên quan

HAI HÌNH BẰNG NHAU

Lý thuyết liên quan