Bài 106920

Question

Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho Parabol ($P$) có phương trình $y^2 = 64x$ và đường thẳng ($\Delta )$có phương trình: $4x - 3y + 46 = 0$
Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ($\Delta )$, tiếp xúc ($P$) và có bán kính nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$(P) : y^2=64x,(\Delta ) : 4x-3y+46=0$
Giao điểm của $(P), (\Delta)$ có tọa độ là nghiệm của hệ:
$\begin{cases}y^2=64x \\ 4x-3y+46=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2=16(3y-46) (vô nghiệm)\\ 4x=3y-46 \end{array} \right.$
Suy ra $(P)$ và $(\Delta )$ không cắt nhau.
Xét tiếp tuyến $(d)$ của $(P)$, song song với $(\Delta )$ thì dễ thấy toàn bộ parabol nằm về nửa mặt phẳng bờ $(d)$, không chứa $(\Delta )$.Từ đó khoảng cách ngắn nhất từ điểm $I\in (\Delta )$ tới điểm $M\in (P)$ đạt được khi $M$ là tiếp điểm của $(d)$ với $(P)$ và $MI\bot (\Delta)$
Đường tròn tâm $I$ bán kính $IM$ tiếp xúc với $(d)$ tại $M$, tức "tiếp xúc với $(P)$ tại $M$" là đường tròn cần tìm.
Ta có:
$d // (\Delta)$ nên $d$ có PT: $4x-3y+c=0$; $d$ tiếp xúc $(P)$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}{l} y^2=64x\\ 4x-3y+c=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2=16(3y-c)\\ 4x=3y-c \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (y-24)^2=24^2-16c\\ 4x=3y-c \end{array} \right.$
Hệ trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $24^2-16c=0\Leftrightarrow c=36$
Khi đó pt $(d)$ là: $4x-3y+36=0$, giao điểm của $d$ và $(P)$ là: $M(9;24)$
Gọi $I(x,y)$ là tâm đường tròn cần tìm, do $I\in (\Delta)$ nên ta có: $4x-3y+46=0 (1)$
Mặt khác $\overrightarrow{MI}_{(x-9;y-24)}\bot \overrightarrow{u}_{(3;4)} $ là vecto chỉ phương của $(\Delta)$
$\Rightarrow 3(x-9)+4(y-24)=0\Leftrightarrow 3x+4y=123 (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{37}{5}\\ y=\frac{126}{5} \end{array} \right.$
$IM=\sqrt{(9-\frac{37}{5})^2+(24-\frac{126}{5})^2}=2$
Suy ra phương trình đường tròn phải tìm là:
$(x-\frac{37}{5})^2+(y-\frac{126}{5})^2=4$

Bài 106920

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106920

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan