Bài 106783

Question

Trong hệ tọa độ vuông góc $Oxy$ cho các điểm $A(-2,0) B(2,0)$ và $M(x,y)$
$1.$ Xác định tọa độ của $M$, biết rằng $M$ nằm phía trên trục hoành, số đo góc $\widehat {AMB} = {90^0};\,\widehat {MAB} = {30^0}$
$2.$ Khi $M$ chuyển động trong mặt phẳng tọa độ sao cho tam giác $AMB$ có số đo góc $\widehat {MBA} =2\widehat {MAB}$, chứng minh rằng $M$ chạy trên một nhánh của đường hypebol. Xác định tọa độ tiêu điểm của nhánh hypebol.

score 0 · Answer 1

$1.$ $\widehat {AMB} = {90^0}$, $\widehat {MAB} = {30^0}$ $ \Leftrightarrow \Delta AMB$ là nửa tam giác đều cạnh huyền $AB \Leftrightarrow \Delta OMB$ đều cạnh $OB = 2$ $ \Leftrightarrow
M(1;\sqrt 3 )$
$2.$ Lấy $M’(-x; y)$ đối xứng với $M(x, y)$ qua $Oy$ thì AM’MB là hình thang cân $ \Rightarrow \widehat
{MM'B} = \widehat {M'BA} = \frac{1}{2}\widehat {MBA} \Rightarrow \Delta MM'B$ cân tại $M $
$ \Rightarrow BM = MM' = 2MH \Rightarrow \frac{{MB}}{{MH}} = 2$ (với $H\in Oy; MH\bot Oy$)
M chạy dọc một bộ phận của hypebol nhận B làm một tiêu điểm $F_2, Oy$ làm một đường chuẩn, tâm sai $2$. Tọa độ tiêu điểm cần tìm là $(2;0)$ (tọa độ $B$) ($*$)
Ta có $\Delta MM'B$ cân tại $M \Rightarrow MM' = BM$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + x} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{(y - 0)}^2}} \\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}}}
- \,\frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right)}^3}}} = 1\\
X = x + \frac{2}{3}\,\,\,\,;\,\,\,\,Y = y\\
a = \,\,\frac{4}{3}\,\,\,\,;\,\,\,b = \frac{4}{{\sqrt 3 }}
\end{array}$
$ \Rightarrow \frac{{{X^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{Y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ là phương trình hypebol.

Bài 106783

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106783

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan