Bài 106664

Question

Cho họ đường cong $(C_m)$ có phương trình: $\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{m^2 - 25} = 1$
trong đó $m$ là tham số $m \ne 0;m \ne \pm 5$
$1.$ Tùy theo các giá trị của $m$, hãy xác định khi nào thì $(C_m)$ là elip, khi nào là Hypebol?
$2.$ Giả sử $A$ là một điểm tùy ý trên đường thẳng $x = 1$ và $A$ không thuộc trục hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm $A$ luôn luôn có $4$ đường cong của họ $(Cm)$ đi qua $A$. Hỏi trong số $4$ đường cong đó có bao nhiêu elip và bao nhiêu Hypebol?

score 0 · Answer 1

$1.$ Ta có $(C_m)$ là elip $ \Leftrightarrow {m^2} - 25 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
m < - 5
\end{array} \right.$
($C_m$) là Hypebol $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 25 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < |m| < 5$
$2.$ Gọi tọa độ của điểm $A$ là $(1;a)$ với $(a \ne 0)$
$\begin{array}{l}
A \in ({C_m}) \Leftrightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{m^2} - 25}} = 1\\
\Leftrightarrow {m^4} - ({a^2} + 26){m^2} + 25 = 0 (1)
\end{array}$
Đặt $t = m^2 (t \ge 0)$, khi đó:
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow f(t) = {t^2} - ({a^2} + 26)t + 25 = 0\\
\Delta = {a^4} + 52{a^2} + 526 > 0
\end{array}$
Vì $f(t)$ có $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right.\,\,\,;\,\,1f(25) = - 25{a^2} - 20 < 0\,\,\forall a$
Suy ra $f(t) = 0$ luôn có hai nghiệm $t_1; t_2$ thỏa mãn : $0 < {t_1} < 25 < {t_2}$
Suy ra ($1$) luôn có $4$ nghiệm thỏa mãn: $0 < m_{1,2}^2 < 25 < m_{3,4}^2$
$ \Leftrightarrow |{m_{1,2}}| < 5 < |{m_{3,4}}|$
Vậy ứng với mỗi điểm $A(1;a)$ luôn có $4$ đường thuộc họ $(C_m)$ đi qua. Trong đó có $2$ elip và $2$ hypebol.

Bài 106664

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106664

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan