Bài 106577

Question

Cho $A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)$.
a. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Nhận xét?
b. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $BC$ với hai đường phân giác trong và ngoài của góc $A$ trong tam giác $ABC$.
c. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

phuongna · Answer 1 · 6/2/2012 11:28:28 AM

a. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow G(\frac{4}{3} ; \frac{2}{3}) $
* Gọi $H(x;y)$ là trực tâm tam giác $ABC$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{BC}=0 \\ \overrightarrow{BH}. \overrightarrow{AC} =0 \end{array} \right.$
với $\overrightarrow{AH}=(x-2;y-6), \overrightarrow{BC}=(8;4), \overrightarrow{BH}=(x+3;y+4), \overrightarrow{AC}=(3;-6) $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8x+4y=40\\ 3x-6y=15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=5\\ y=0 \end{array} \right. $. Vậy $H(5;0)$.
* Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$:
$\left\{ \begin{array}{l} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x-2)^2+(y-6)^2=(x+3)^2+(y+4)^2\\ (x-2)^2+(y-6)^2=(x-5)^2+(y-0)^2 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10x+20y=15\\ 6x-12y=-15 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{1}{2} \\ y=1 \end{array} \right. $. Vậy $I(-\frac{1}{2};1)$.
* Nhận xét: $H(5;0), G(\frac{4}{3} ; \frac{2}{3}), I(-\frac{1}{2};1), \overrightarrow{HG}=(-\frac{11}{3}; \frac{2}{3}) , \overrightarrow{HI}=(-\frac{11}{2};1) $
Ta có: $\overrightarrow{HG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{HI} $
$\Rightarrow \overrightarrow{HG}$ cùng phương với $\overrightarrow{HI}$
$\Rightarrow $ Ba điểm $H, G, I$ thẳng hàng.
b. $\overrightarrow{AB}=(-5;-10)\Rightarrow AB=\sqrt{125}=5\sqrt{5}, \overrightarrow{AC}=(3;-6)\Rightarrow AC=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
*Gọi $D$ là chân đường phân giác trong $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$.
Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{5}{3} $
$\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{5}{3} \overrightarrow{DC} $ ( vì $D$ là điểm chia trong $BC$ nên $k=-\frac{5}{3}$)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -3-x_{D}=-\frac{5}{3}(5-x_{D}) \\ -4-y_{D}=-\frac{5}{3}(0-y_{D}) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8x_{D}=16\\ 8y_{D}=-12 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}x_{D}=2 \\ y_{D}=-\frac{3}{2} \end{array} \right. $ Vậy $D=(2;-\frac{3}{2})$
* Gọi E là chân đường phân giác ngoài $\widehat{A}$ của tam giác ABC:
Ta có: $\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3} . $
$\Leftrightarrow \overrightarrow{EB}= \frac{5}{3} \overrightarrow{EC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -3-x_{E}=\frac{5}{3}(5-x_{E})\\ -4 -y_{E}=\frac{5}{3}(0-y_{E})\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x_{E}=34\\ 2y_{E}=12 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}x_{E}=17 \\ y_{E}=6 \end{array} \right. \Rightarrow E(17;6)$
c. Cách 1:

Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta thấy J cũng là chân đường phân giác trong của $\widehat{B}$ trong tam giác ABD.
Có: $\frac{JA}{JD}=\frac{BA}{BD}=\frac{5\sqrt{5}}{\frac{5\sqrt{5}}{2} } =2 $ ( vì $BD=\sqrt{5^2+(-\frac{3}{2}+4)^2 }=\frac{5\sqrt{5}}{2} $)
$\Rightarrow \overrightarrow{JA}=-2 \overrightarrow{JD}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-x_{J}=-2(2-x_{J}) \\ 6-y_{J}=-2(-\frac{3}{2}-y_{J})\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{J}=2\\ y_{J}=1 \end{array} \right. $
Vậy $J(2;1)$
Cách 2: $a=BC=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}$
$b=AC=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$
$c=AB=5\sqrt{5}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_{J}=\frac{a x_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}=\frac{8\sqrt{5}-9\sqrt{5}+25\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} =2 \\ y_{J}=\frac{a y_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}=\frac{24\sqrt{5}-12\sqrt{5}+0} {12\sqrt{5}}=1\end{array} \right. $

Bài 106577

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106577

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan