$1.$ Kẻ $MN$ song song $AC$ thì $A’C’NM$ chính là thiết diện tạo thành.
$O’J$ là đường cao hình thang $A’C’M’N’.$ (vì $A'C'$ vuông góc với mp$(OO'J)$)
$\frac{OJ}{OB}=\frac{AM}{AB}\Leftrightarrow\frac{OJ}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{x}{a}\Rightarrow{{OJ}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow O'J = \sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$MN = MB.\sqrt 2 = (a - x)\sqrt 2 $
Thiết diện có diện tích:
$S = \frac{1}{2}\left( {a\sqrt 2 + (a - x)\sqrt 2 } \right)\sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$\Rightarrow S=\frac{1}{\sqrt{2}}(2a-x)
\sqrt {{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} $
$2. (P)$ chia hình lập phương thành $2$ phần có thể tích gấp đôi nhau
$ \Leftrightarrow A'C'NMB$ có thể tích $ = \frac{1}{3}$ thể tích hình lập phương $ =
\frac{{{a^3}}}{3}$. Ta có:
$\begin{array}{l}
{V_{A'C'NBM}} = {V_{A'BMN}} + {V_{A'B'C'NB}}\\
= \frac{1}{6}{\left( {a - x} \right)^2}a +
{V_{A'B'C'NB}}
\end{array}$
$V_{A'B'C'NB}=V_{A'B'BN}+V_{A'B'C'N}=\frac{1}{6}a.a.(a-x)+\frac{1}{6}a.a^2$
$=\frac{a^2}{6}(2a-x)$
$\Rightarrow
V_{A'C'NBM}=\frac{a}{6}(x^2-3ax+3a^2)$
YCBT $ \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{3} = \frac{a}{6}\left( {{x^2} - 3ax + 3{a^2}} \right)$
$\Leftrightarrow x^2-3ax+a^2=0$
$ \Leftrightarrow x = a\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$