Bài 105904

Question

Cho tam giác $ABC$ với $A(0;1;2), B(1;2;1), C(2,-1;0)$
a) Tìm điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành
b) Tìm tọa độ tâm $I$ của hình bình hành $ABCD$
c) Tìm tọa độ tâm $E$ đối xứng của $A$ qua $C$
d) Gọi $G$ và $G' $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $ADC$. Chứng minh $G$ và $G' $ đối xứng nhau qua $I$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 10:42:16 AM

a) $ABCD$ là hình bình hành
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_B-x_A=x_C-x_D\\ y_B-y_A=y_C-y_D\\z_B-z_A=z_C-z_D \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_D=x_A-x_B+x_C=0-1+2=1\\ y_D=y_A-y_B+y_C =1-2-1=-2\\z_D=z_A-z_B+z_C=2-1+0=1 \end{array} \right. $
Vậy $D(1;-2;1)$

b) $I$ là tâm của hình bình hành $ABCD\Rightarrow I$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{0
+2}{2}=1 \\ y_I=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1-1}{2}=0 \\z_I=\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{2+0}{2}=1 \end{array} \right.$
Vậy $I(1;0;1)$

c) $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $C\Rightarrow $ $C$ là trung điểm của $AE$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_E=2x_C-x_A=4-0=4\\ y_E=2y_C-y_A=-2-1=-3\\z_E=2z_C-z_A=0-2=-2 \end{array} \right.$
Vậy $E(4;-3;-2)$

d) $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+1+2}{3}=1 \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+2-1}{3}=\frac{2}{3} \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{2+1+0}{3}=1 \end{array} \right.$
Vậy $G(1;\frac{2}{3};1 )$
$G'$ là trọng tâm của tam giác $ADC$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_G'=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+1+2}{3}=1 \\ y_G'=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1-2-1}{3}=-\frac{2}{3} \\ z_G'=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{2+1+0}{3}=1 \end{array} \right.$
Vậy $G(1;-\frac{2}{3};1 )$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x_G+x_G'}{2}=\frac{1+1}{2}=1=x_I \\ \frac{y_G+y_G'}{2}=\frac{\frac{2}{3}-\frac{2}{3} }{2}=0=y_I \\\frac{z_G+z_G'}{2}=\frac{1+1}{2}=1=z_I \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I=\frac{x_G+x_G'}{2} \\ y_I=\frac{y_G+y_G'}{2}\\ z_I=\frac{z_G+z_G'}{2} \end{array} \right.$
Vậy $I$ là trung điểm của $GG'$. Vậy $G$ và $G'$ đối xứng nhau qua $I$

Câu d có thể chứng minh bằng hình học phẳng

Bài 105904

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105904

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan