Bài 105805

Question

Cho hàm số

$f$ xác định bởi:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin \frac{1}{x}\,\,\,\,;\,\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,x = 0 \end{array} \right.$

$1$ . Tính đạo hàm của

$f$ tại mỗi

$x \in R$ .

$2$ . Chứng tỏ rằng đạo hàm

$f’$ không liên tục tại

$x = 0.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Với

$x\neq 0$ thì

$f^/(x)=2xsin\frac{1}{x} -cos\frac{1}{x}$ .
Với

$x=0,\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =xsin\frac{1}{x}$
Vì

$0\leq |xsin\frac{1}{x} |\leq |x|$ nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}(xsin\frac{1}{x}) =0$
Do đó

$f’(0) = 0.$

$2.$ Ta có:

$f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x\sin \frac{1}{x} - c{\rm{os}}\frac{1}{x}\,\,\,\,\,;x \ne 0\\ 0\,\,\,;x = 0 \end{array} \right.$
Khi

$x\rightarrow 0$ thì

$xsin \frac{1}{x}\rightarrow 0$ , còn

$cos\frac{1}{x}$ lại không có giới hạn nên

$f^/(x)$ không có giới hạn khi

$x\rightarrow 0$ . Thật vậy, nếu

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f^/(x) =a$ thì

$cos\frac{1}{x}=2xsin\frac{1}{x} -f^/(x)$ cũng có giới hạn là

$a$ khi

$x\rightarrow 0$ . Điều này vô lí.
Vậy

$f’$ không liên tục tại

$x = 0.$
(

$g(x)=\cos\frac{1}{x}$ không có giới hạn do :

$\mathop{\lim}\limits_{x\to\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi}}g(x)=0 ( k\to+\infty)$

$\mathop{\lim}\limits_{x\to\frac{1}{n2\pi}}g(x)=1( n\to+\infty)$

Như vậy : Khi $x\to 0$ g(x) tiến tới 2 giá trị khác nhau $\Rightarrow g(x)$ không tồn tại giới hạn khi $x\to 0$

1 Đáp án