Bài 105465

Question

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x^n\sin \frac{1}{x} khi x \ne 0\\
0 khi x = 0
\end{array} \right.$
a) Với $n$ nào hàm liên tục tại $x = 0$
b) Với $n$ nào hàm có đạo hàm tại $x = 0$.
c) Với $n$ nào hàm có đạo hàm liên tục tại $x = 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 9:15:47 AM

a) $f(0) = 0$, nên để liên tục tại $x = 0$ phải có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^n}\sin \frac{1}{x} = 0$, suy ra $n$ phải $> 0$ .

b) Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^n}\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{n - 1}}\sin \frac{1}{x}$
Giới hạn này bằng $0$ khi $n > 1$, không tồn tại khi $n \le 1$.
Vậy hàm số có đạo hàm tại $0$ khi $n > 1$ và $f'(0) = 0$.

c) Khi $x \ne 0$
$f(x) = \left( {{x^n}\sin \frac{1}{x}} \right)' = ... = n{x^{n - 1}}\sin \frac{1}{x} - {x^{n - 2}}c{\rm{os}}\frac{1}{x}$
Để đạo hàm liên tục tại $x = 0$ phải có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {n{x^{n - 1}}\sin \frac{1}{x} - {x^{n - 2}}c{\rm{os}}\frac{1}{x}} \right) = f'(0) = 0$ suy ra $n > 2$

Bài 105465

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105465

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan