Bài 105646

Question

Cho hàm số: $y = \frac{x - 1}{x + 1}$
a) Chứng mình rằng đồ thị của hàm số nhận các đường thẳng $y = x + 2,y =- x$ làm trục đối xứng.
b) Xác định điểm $M$ thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ $M$ đến các trục tọa độ là nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 10:36:30 AM

a)    Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = 1 - \frac{2}{{x + 1}}$            $(1)$
Đặt $y - 1 = Y,x + 1 = X$, khi đó (1) trở thành
                $Y = - 2/X$            $(2)$
$\Rightarrow $ Đồ thị của $(2)$ có trục đối xứng là $Y = X$ và $Y = -X $
$\Rightarrow $ đồ thị của (1) có trục đối xứng là $y - 1 = x + 1$ và $y - 1 = - \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = x + 2$ và $y = - x$.

b)    Giả sử $M\left( {x,y} \right)$ là một điểm thuộc đồ thị .
Ta cần xác định $x, y$ sao cho $d\left( M \right) = \left| x \right| + \left| y \right|$ là nhỏ nhất.
Dễ thấy rằng $2$ điểm ${M_0}\left( {0, - 1} \right),{M_1}\left( {1,0} \right)$ thuộc đồ thị với $d\left( {{M_0}} \right) = d\left( {{M_1}} \right) = 1$.
Do đó ta cần xác định $x,y$ với
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| y \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| {x - 1} \right| < \left| {x + 1} \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1$

Với $0 < x < 1$ ta có:
$d\left( M \right) = \left| x \right| + \left| y \right| = x - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}$
$ = \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} - 2 \ge 2\sqrt {\left( {x + 1} \right).2/\left( {x + 1} \right)} - 2 = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right).$
Dấu bằng đạt được khi $x + 1 = 2/\left( {x + 1} \right) \Rightarrow x = \sqrt 2 - 1$
(khi đó $y = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + 1}} = \frac{{\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 $)
Vậy điểm $M$ phải tìm là $M\left( {\sqrt 2 - 1,1 - \sqrt 2 } \right)$

Bài 105646

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105646

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan