Bài 105567

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2}cos\alpha - 2x + cos\alpha }}{{{x^2} - 2xcos \alpha + 1}}$
Với tham số $\alpha \in (0; \pi)$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$, ta đều có $ - 1 \le y \le 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:19:58 PM

Ta có: $y = \frac{{{x^2}c{\rm{os}}\alpha - 2x + c{\rm{os}}\alpha }}{{{{\left( {x - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} + {{\sin }^2}\alpha }}$
Do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $\sin \alpha > 0{\rm{ }} \Rightarrow $ hàm số luôn xác định với mọi $x$ $ \Rightarrow $ phương trình (ẩn số là $x$)
$y({x^2} - 2x\cos \alpha + 1) = {x^2}c{\rm{os}}\alpha - 2x + c{\rm{os}}\alpha $
$ \Leftrightarrow (y - c{\rm{os}}\alpha ){x^2} - 3(y\cos \alpha - 1)x + (y - c{\rm{os}}\alpha ) = 0$ có nghiệm

a) $y = c{\rm{os}}\alpha $; do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$nên $c{\rm{os}}\alpha \ne \pm {\rm{1 }} \Rightarrow {\rm{x}} = 0$
Từ đó ta có $\left| y \right| = \left| {c{\rm{os}}\alpha } \right| < 1$

b) $y \ne c{\rm{os}}\alpha $:
$\Delta ' = {(y\cos \alpha - 1)^2} - {(y - c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}^2} \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ (y}} - 1{)^2}({\cos ^2}\alpha - 1) \ge 0$
Lại do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1 < 0$.
Từ đó: ${y^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow \left| y \right| \le 1$

Bài 105567

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105567

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan