Bài 105564

Question

Cho hàm số: $y = x^3 - 3(2m + 1)x^2 + (12m + 5)x + 2$
với $m$ là một tham số.
1) Xác định $m$ để hàm số đồng biến trong khoảng $(2 ;+\infty )$.
2) Xác định $m$ để hàm số đồng biến trong các khoảng $( - \infty ; - 1)$, $(2 ;+\infty )$
3) Khi $m = 1$ qua điểm $A( - 2 , 5)$có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:13:27 PM

Ta có        $y' = 3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5$

$1)$ $y$ đồng biến trong $(2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5 \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 5 \ge 12m(x - 1),{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}} \ge 12m,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$                $(*)$
Ta có
    $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}} = 3(x - 1) + \frac{2}{{x - 1}} = 3\left[ {(x - 1) + \frac{1}{{x - 1}}} \right] - \frac{1}{{x - 1}} \ge \\
\ge 3.2 - \frac{1}{{x - 1}} \ge 6 - 1 = 5,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{(2; + }}\infty {\rm{)}}
\end{array}$
(dấu bằng đạt được khi $x = 2$).
Do đó có (*) khi và chỉ khi: $12m \le 5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} \le \frac{5}{{12}}$            $(1)$

$2)$ $y$ đồng biến trong khoảng $( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$khi và chỉ khi $y' \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$.
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6(m + 1)x + 12m + 5 \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1)\\
\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{1 - x}} \ge 12m,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1){\rm{                      (**)}}
\end{array}$
Ta có
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{1 - x}} = 3(1 - x) + \frac{2}{{1 - x}} = 6\left( {\frac{{1 - x}}{2} + \frac{2}{{1 - x}}} \right) - \frac{{10}}{{1 - x}}\\
\ge 6.2 - \frac{{10}}{{1 - x}} \ge 12 - 5 = 7,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1)
\end{array}$
(dấu = đạt được khi $x = - 1$)
Do đó có $(**)$ khi và chỉ khi: $7 \ge - 12m{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} > - \frac{7}{{12}}$               $ (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta được:
$y$ đồng biến trong các khoảng $( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$, $(2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi: $ - \frac{7}{{12}} \le m \le \frac{5}{{12}}$

$3)$ Khi $m = 1$ thì $y = {x^3} - 9{x^2} + 17x + 2$
Tiếp tuyến với đồ thị đi qua $A( - 2{\rm{ , 5)}}$ có phương trình $y = k(x + 2) + 5$.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 9{x^2} + 17x + 2 = k(x + 2) + 5{\rm{             (1)}}\\
y' = 3{x^2} - 18x + 17 = k{\rm{                                (2)}}
\end{array} \right.$
Thế $k$ từ $(2)$ vào $(1)$ ta có: $2{x^3} - 3{x^2} - 36x + 37 = 0$                $(3)$
Vì $2 - 3 - 36 + 37 = 0$ nên $(3)$ $ \Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} - x - 37) = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1\\
2{x^2} - x - 37 = 0
\end{array} \right.{\rm{      }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1\\
{x_{2,3}} = \frac{{1 \pm \sqrt {297} }}{4}
\end{array} \right.$
Thế vào $(2)$ ta được : ${k_1} = 2,{\rm{ }}{{\rm{k}}_2} = 3x_2^2 - 18{x_2} + 17$, ${k_3} = 3x_3^2 - 18{x_3} + 17$. Vậy khi $m = 1$, qua điểm $A( - 2,{\rm{ 5)}}$ có thể kẻ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho

Bài 105564

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105564

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan