Bài 105564

Question

Cho hàm số:

$y = x^3 - 3(2m + 1)x^2 + (12m + 5)x + 2$
với

$m$ là một tham số.
1) Xác định

$m$ để hàm số đồng biến trong khoảng

$(2 ;+\infty )$ .
2) Xác định

$m$ để hàm số đồng biến trong các khoảng

$( - \infty ; - 1)$ ,

$(2 ;+\infty )$
3) Khi

$m = 1$ qua điểm

$A( - 2 , 5)$ có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:13:27 PM

Ta có

$y' = 3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5$

$1)$

$y$ đồng biến trong

$(2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi

$y' \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6(2m + 1)x + 12m + 5 \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 5 \ge 12m(x - 1),{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$

$\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}} \ge 12m,{\rm{ }}\forall {\rm{x }} \in (2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$

$(*)$
Ta có

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}} = 3(x - 1) + \frac{2}{{x - 1}} = 3\left[ {(x - 1) + \frac{1}{{x - 1}}} \right] - \frac{1}{{x - 1}} \ge \\ \ge 3.2 - \frac{1}{{x - 1}} \ge 6 - 1 = 5,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{(2; + }}\infty {\rm{)}} \end{array}$
(dấu bằng đạt được khi

$x = 2$ ).
Do đó có (*) khi và chỉ khi:

$12m \le 5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} \le \frac{5}{{12}}$

$(1)$

$2)$

$y$ đồng biến trong khoảng

$( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$ khi và chỉ khi

$y' \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6(m + 1)x + 12m + 5 \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1)\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{1 - x}} \ge 12m,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1){\rm{ (**)}} \end{array}$
Ta có

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{1 - x}} = 3(1 - x) + \frac{2}{{1 - x}} = 6\left( {\frac{{1 - x}}{2} + \frac{2}{{1 - x}}} \right) - \frac{{10}}{{1 - x}}\\ \ge 6.2 - \frac{{10}}{{1 - x}} \ge 12 - 5 = 7,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in ( - \infty {\rm{ ; }} - 1) \end{array}$
(dấu = đạt được khi

$x = - 1$ )
Do đó có

$(**)$ khi và chỉ khi:

$7 \ge - 12m{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} > - \frac{7}{{12}}$

$(2)$
Kết hợp

$(1)$ và

$(2)$ ta được:

$y$ đồng biến trong các khoảng

$( - \infty {\rm{ ; }} - 1)$ ,

$(2{\rm{ ; + }}\infty {\rm{)}}$ khi và chỉ khi:

$- \frac{7}{{12}} \le m \le \frac{5}{{12}}$

$3)$ Khi

$m = 1$ thì

$y = {x^3} - 9{x^2} + 17x + 2$
Tiếp tuyến với đồ thị đi qua

$A( - 2{\rm{ , 5)}}$ có phương trình

$y = k(x + 2) + 5$ .
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 9{x^2} + 17x + 2 = k(x + 2) + 5{\rm{ (1)}}\\ y' = 3{x^2} - 18x + 17 = k{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$
Thế

$k$ từ

$(2)$ vào

$(1)$ ta có:

$2{x^3} - 3{x^2} - 36x + 37 = 0$

$(3)$
Vì

$2 - 3 - 36 + 37 = 0$ nên

$(3)$

$\Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} - x - 37) = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ 2{x^2} - x - 37 = 0 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_{2,3}} = \frac{{1 \pm \sqrt {297} }}{4} \end{array} \right.$
Thế vào

$(2)$ ta được :

${k_1} = 2,{\rm{ }}{{\rm{k}}_2} = 3x_2^2 - 18{x_2} + 17$ ,

${k_3} = 3x_3^2 - 18{x_3} + 17$ . Vậy khi

$m = 1$ , qua điểm

$A( - 2,{\rm{ 5)}}$ có thể kẻ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho

Bài 105564

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105564

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan