Bài 105527

Question

Cho hàm số: $y = x - 1 + \frac{{m - 1}}{{x + 1}}$
Tìm điều kiện cần và đủ đối với $m$ để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:41:38 PM

Ta có: $y' = 1 + \frac{{1 - m}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
Gọi ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của hai tiếp tuyến với đồ thị ; ${x_1},{x_2}{\rm{ (}} \ne {\rm{ - 1)}}$ là hoành độ các tiếp điểm.
Khi đó ta có: ${k_1} = 1 + \frac{{1 - m}}{{{{({x_1} + 1)}^2}}},{\rm{ }}{{\rm{k}}_2} = 1 + \frac{{1 - m}}{{{{({x_2} + 1)}^2}}}$
Điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau là ${k_1}{k_2} = - 1$.
$ \Leftrightarrow \left[ {1 + \frac{{1 - m}}{{{{({x_1} + 1)}^2}}}} \right]\left[ {1 + \frac{{1 - m}}{{{{({x_2} + 1)}^2}}}} \right] = - 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {{{({x_1} + 1)}^2} + (1 - m)} \right]\left[ {{{({x_2} + 1)}^2} + (1 - m)} \right] = - {({x_1} + 1)^2}{({x_2} + 1)^2}$
$ \Leftrightarrow 2{({x_1} + 1)^2}{({x_2} + 1)^2} + (1 - m)\left[ {{{({x_1} + 1)}^2} + {{({x_2} + 1)}^2}} \right] + {(1 - m)^2} = 0{\rm{ }}$ $(1)$
Do ${x_1} \ne - 1,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} \ne - 1$ để có $(1)$ thì $1 - m < 0 \Rightarrow m > 1$.
(lưu ý rằng hai tiếp tuyến vuông góc với nhau bao giờ cũng cắt nhau)

Đáp số: $m > 1$

Bài 105527

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105527

1 Đáp án

Liên quan

Bài toán tiếp tuyến liên quan đến hệ số góc

Lý thuyết liên quan