Bài 105515

Question

Cho các đường: $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}(H)$; $y = - x + m (T)$
1) Xác định để $(T)$ cắt $(H)$ tại hai điểm $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $(C)$: $y = x + 3$.
2) Tìm các giá trị $k$ sao cho trên $(H)$ có hai điểm khác nhau $P, Q$ thỏa mãn điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_P} + {y_P} = k\\
{x_Q} + {y_Q} = k
\end{array} \right.$
Chứng minh rằng khi đó $P$ và $Q$ cùng thuộc một nhánh của $(H)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:07:43 PM

$1)$ Gọi ${x_A},{x_B}$ là hoành độ của $A, B$, khi đó ${x_A},{x_B}$ là nghiệm của phương trình
$\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - (m + 3)x + m + 2 = 0,{\rm{ x}} \ne {\rm{1}}$        $(1)$
Từ đó         ${x_A} + {x_B} = \frac{{m + 3}}{2}$                    $(2)$
Hệ số góc của $(T)$ là ${k_T} = - 1$, hệ số góc của $(C)$: $y = x + 3$ là ${k_C} = 1$, do đó ${k_C}.{k_T} = - 1$, vậy $(T)$ vuông góc với $(C)$.
Gọi ${x_I}$ là hoành độ giao điểm $I$ của $(T)$ và $(C)$ thì ${x_I}$ là nghiệm của phương trình
$x + 3 = - x + m \Rightarrow {x_I} = \frac{{m - 3}}{2}$                $(3)$
Do đó $A, B$ đối xứng với nhau qua $(C)$ nên $I$ là trung điểm của $AB$, do đó: ${x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}$    $(4)$
Thế $(2)$ và $(3)$ vào $(4)$ ta có $(m - 3)/2 = (m + 3)/4 \Leftrightarrow m = 9$
Dễ thấy rằng với $m = 9$ thì $(1)$ luôn có hai nghiệm $ \ne 1$
Đáp số $m = 9$

$2)$ $\left\{ \begin{array}{l}
{x_P} + {y_P} = k\\
{x_Q} + {y_Q} = k
\end{array} \right.$        $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_P} = - {x_P} + k\\
{y_Q} = - {x_Q} + k
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x_P},{x_Q}$ là hoành độ giao điểm của $(H)$ và $(T)$ trong đó m được thay bởi $k$. Để ${x_P} \ne {x_Q}$ thì $(1)$ có hai nghiệm $ \ne 1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {(k + 3)^2} - 8(k + 2) = {k^2} - 2k - 7 > 0\\
{2.1^2} - (k + 3).1 + k + 2 \ne 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow k < 1 - 2\sqrt 2 $ hoặc $k > 1 + 2\sqrt 2 $

Đặt $f(x) = 2{x^2} - (k + 3)x + k + 2$, ta có: $2f(1) = 2[{2.1^2} - (k + 3).1 + k + 2] = 2 > 0$
$ \Rightarrow {x_P},{x_Q} < 1$ hoặc ${x_P},{x_Q} > 1$.
Lại do $x = 1$ là tiệm cận đứng của $(H)$ nên ${x_P},{x_Q}$ cùng thuộc một nhánh của $(H)$

Bài 105515

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105515

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan