Bài 105514

Question

Tính $\int\limits_0^{\frac{1}{9}} {\left( {5^{3x}+ \frac{x}{{\sin ^2(2x + 1)}} + \frac{1}{{\sqrt[5]{{4x - 1}}}}} \right)} dx$

score 0 · Answer 1

Đặt $I_1=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } 5^{3x}dx, I_2=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } \frac{x}{sin^2(2x+1)} ,I_3=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}} $ thì
$I=I_1+I_2+I_3$ và $I_1=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } e^{(3ln5)x}dx=\frac{1}{3ln5} .e^{(3ln5)x}\mathop |\nolimits_0^{\frac{1}{9}} $
$=\frac{1}{3ln5} 5^{3x}\mathop |\nolimits_0^{\frac{1}{9}} =\frac{1}{3ln5} (5^{\frac{1}{3} }-1)$.
$I_3=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } (4x-1)^{\frac{-1}{5} }dx=\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } (4x-1)^{\frac{-1}{5} }d(4x-1)=\frac{1}{4} \int\limits_{-1}^{\frac{-5}{9} } t^{\frac{-1}{5} }dt$
$=\frac{1}{4} .\frac{5}{4} .t^{\frac{4}{5} }\mathop |\nolimits_{ - 1}^{\frac{{ - 5}}{9}} =\frac{5}{16} ((\frac{-5}{9} )^{\frac{4}{5} }-(-1)^{\frac{4}{5} })=\frac{5}{16} [(\frac{5}{9} )^{\frac{4}{5} }-1]$
$I_2=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } \frac{x}{sin^2(2x+1)}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } \frac{x}{2} d(-cot(2x+1))$
$=\frac{-x}{2}cot(2x+1) \mathop |\nolimits_{0}^{\frac{{ 1}}{9}} -\int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } -cot(2x+1)d\frac{x}{2} $
$=\frac{-1}{18} cot\frac{11}{9} +\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{\frac{1}{9} } \frac{cos(2x+1)}{sin(2x+1)}d(2x+1) $
$=\frac{-1}{18} cot\frac{11}{9} +\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{\frac{1}{9} }\frac{dsin(2x+1)}{sin(2x+1)} $
$=\frac{-1}{18} cot\frac{11}{9} +\frac{1}{4} \int\limits_{sin1}^{sin\frac{11}{9} }\frac{dt}{t} $
$=\frac{-1}{18} cot\frac{11}{9} +\frac{1}{4}lnsin\frac{11}{9}-\frac{1}{4} lnsin1$
$I=\frac{1}{3ln5} (\sqrt[3]{5}-1)-\frac{1}{18} cot\frac{11}{9} +\frac{1}{4} lnsin\frac{11}{9} -\frac{1}{4} lnsin1+\frac{5}{16} (\sqrt[5]{(\frac{5}{9} )^4}-1)$

Bài 105514

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105514

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan