Bài 105509

Question

Định a để bất phương trình $a.4^{x}+ \left( a-1 \right) 2^{x+2}+a-1>0$ nghiệm đúng với mọi giá trị của x.

score 0 · Answer 1

$a.4^{x}+ \left( a-1 \right) 2^{x+2}+a-1>0$
Đặt $2^{x}=t, t>0.$ Được bất phương trình $at^{2}+4 \left( a-1   \right) t +a-1>0$
Tam thức ở vế trái có: $\Delta’=4 \left( a-1 \right) –a \left( a-1   \right) =3 a^{2}-7a+4$
•    Nếu $1<a< \frac{ 4}{3}$ thì $at^{2}+4 \left( a-1   \right) t+a-1>0 \forall t$
•    Nếu $a<1$ hay $a> \frac{ 4}{3},$ tam thức $f(t)= a t^{2}+4 \left( a-1   \right) t+a-1$
Có hai nghiệm phân biệt:
$t_{1}=\frac{ -2 \left( a-1   \right) - \sqrt{ 3 a^{2}-7a+4}}{a}$
$t_{2}= \frac{- 2 \left( a-1   \right) + \sqrt{ 3a^{2}-7a+4}}{ a}$
•    Nếu $a>0$
Để $f(t)>0 \forall a>0$ thì $t_{2}<0$ :
$\frac{ -2 \left( a-1   \right) + \sqrt{ 3a^{2}-7a+4}}{a}<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 3a^{2}-7a+4}< 2 \left( a-1   \right) $
$\Leftrightarrow \begin{cases} a>1 \\   3 a^{2}-7a+4< 4a^{2}-8a+4 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} a>1   \\ a^{2}-a>0   \end{cases} \Leftrightarrow a>1 $
Giao với điều kiện $\Delta’>0$ được $a> \frac{ 4}{3}$
Hợp với điều kiện: $\Delta’<0$ được $a>1$
•    Nếu $a<0:$ không có a để $f(t)>0 \forall t>0$

Bài 105509

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105509

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan