Bài 105487

Question

Cho parabol:

$y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} - 1$ . Trong đó

$m$ là tham số.
a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi

$m$ biến thiên
b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng

$y = x$ với parabol không phụ thuộc vào

$m$ .
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của

$m$ , parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 10:22:21 AM

a) Tọa độ đỉnh của parabol

$y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} - 1$ là

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - (2m + 1)}}{2} = - m - \frac{1}{2}$ ,

$(1)$

$y = \frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - (4m + 5)}}{4} = - m - \frac{5}{4}$

$(2)$
Khử

$m$ từ

$(1)$ và

$(2)$ ta được quỹ tích của đỉnh của parabol là đường thẳng

$y = x - \frac{3}{4}$ .

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng

$y = x$ và parabol

$y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} - 1$
là nghiệm của phương trình:

${x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 1 = x$

$\Leftrightarrow {(x + m)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = - 1 - m, {\rm{ }}{x_2} = 1 - m$
Do

${x_2} - {x_1} = (1 - m) - ( - 1 - m = 2,{\rm{ }}\forall {{m}}$ nên hai đường thẳng

${x_1} = - 1 - m,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = 1 - m$ định trên đường thẳng

$y = x$ là những đoạn thẳng không đổi,

$\forall m$ . Đó là điều phải chứng minh.

c) Viết lại parabol dưới dạng :

$y = {(x + m)^2} + x - 1$ .
Khi đó phương trình:

${(x + m)^2} + x - 1 = x - 1 \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = 0$
luôn có nghiệm kép

$x = - m$ ,

$\forall m$ .
Vậy parabol đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng

$y = x - 1,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$

1 Đáp án