Bài 105476

Question

Cho hàm số   $y = y(x) = \frac{x}{1 + |x|}$.
1) Tính đạo hàm $y'(x)$:
    - Tại các điểm $x \ne 0$.
    - Tại các điểm $x = 0$
Từ kết quả đó hãy suy ra $y$ là hàm số luôn đồng biến.
2) Cho ${y_o} \in (-1;1)$, hãy tìm điểm ${x_o}$ tại đó $y({x_o}) = {y_o}$,
3) Chứng tỏ rằng tập giá trị của hàm số $y$ là khoảng $( - 1;1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 9:48:28 AM

$1)$ a) Với $x > 0$, ta có
    $y = \frac{x}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$
b) Với $x < 0$, ta có
    $y = \frac{x}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(1 - x)}^2}}}$
c) Với $x = 0$, ta có
    $\Delta y = y(0 + \Delta x) - y(0) = \frac{{\Delta x}}{{1 + \left| {\Delta x} \right|}}$
$ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{1 + \left| {\Delta x} \right|}}{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{y'(0) = }}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 1$.
Vậy $y' > 0$ với mọi $x \in R \Rightarrow y$ đồng biến trên $R$.

$2)$ Cần tìm ${x_o}$ sao cho:
            $\frac{{{x_o}}}{{1 + \left| {{x_o}} \right|}} = {y_o}$                $(1)$
Ta thấy rằng ${x_o},{y_o}$ là cùng dấu. Suy ra $(1)$ tương đương với:
    $\left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{x}}_o}{\rm{,}}{{\rm{y}}_o} {cùng dấu }\\
\frac{{\left| {{x_o}} \right|}}{{1 + \left| {{x_o}} \right|}} = {y_o}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{x}}_o}{\rm{,}}{{\rm{y}}_o}{cùng dấu}\\
\left| {{x_o}} \right| = \frac{{\left| {{y_o}} \right|}}{{1 - \left| {{y_o}} \right|}}
\end{array} \right.{\rm{         (2)}}$
Vì $\left| {{y_o}} \right| < 1,{\rm{ nên 1}} - \left| {{y_o}} \right| > 0$, vậy $(2)$ tương đương với:
        ${x_o} = \frac{{{y_o}}}{{1 - \left| {{y_o}} \right|}}$
Đó là giá trị ${x_o}$ cần tìm

$3)$ Như đã thấy
        $\left| y \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}} < 1$
Mà với mọi ${y_o} \in ( - 1{\rm{ ; 1)}}$ đều tồn tại ${x_o}$ để có ${y_o}$.
Suy ra tập giá trị của hàm $y$ là toàn bộ khoảng $( - 1{\rm{ ; 1)}}$.

Bài 105476

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105476

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan