Bài 105476

Question

Cho hàm số

$y = y(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ .
1) Tính đạo hàm

$y'(x)$ :
- Tại các điểm

$x \ne 0$ .
- Tại các điểm

$x = 0$
Từ kết quả đó hãy suy ra

$y$ là hàm số luôn đồng biến.
2) Cho

${y_o} \in (-1;1)$ , hãy tìm điểm

${x_o}$ tại đó

$y({x_o}) = {y_o}$ ,
3) Chứng tỏ rằng tập giá trị của hàm số

$y$ là khoảng

$( - 1;1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 9:48:28 AM

$1)$ a) Với

$x > 0$ , ta có

$y = \frac{x}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$
b) Với

$x < 0$ , ta có

$y = \frac{x}{{1 - x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(1 - x)}^2}}}$
c) Với

$x = 0$ , ta có

$\Delta y = y(0 + \Delta x) - y(0) = \frac{{\Delta x}}{{1 + \left| {\Delta x} \right|}}$

$\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{1 + \left| {\Delta x} \right|}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{y'(0) = }}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 1$ .
Vậy

$y' > 0$ với mọi

$x \in R \Rightarrow y$ đồng biến trên

$R$ .

$2)$ Cần tìm

${x_o}$ sao cho:

$\frac{{{x_o}}}{{1 + \left| {{x_o}} \right|}} = {y_o}$

$(1)$
Ta thấy rằng

${x_o},{y_o}$ là cùng dấu. Suy ra

$(1)$ tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} {{\rm{x}}_o}{\rm{,}}{{\rm{y}}_o} {cùng dấu }\\ \frac{{\left| {{x_o}} \right|}}{{1 + \left| {{x_o}} \right|}} = {y_o} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{\rm{x}}_o}{\rm{,}}{{\rm{y}}_o}{cùng dấu}\\ \left| {{x_o}} \right| = \frac{{\left| {{y_o}} \right|}}{{1 - \left| {{y_o}} \right|}} \end{array} \right.{\rm{ (2)}}$
Vì

$\left| {{y_o}} \right| < 1,{\rm{ nên 1}} - \left| {{y_o}} \right| > 0$ , vậy

$(2)$ tương đương với:

${x_o} = \frac{{{y_o}}}{{1 - \left| {{y_o}} \right|}}$
Đó là giá trị

${x_o}$ cần tìm

$3)$ Như đã thấy

$\left| y \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}} < 1$
Mà với mọi

${y_o} \in ( - 1{\rm{ ; 1)}}$ đều tồn tại

${x_o}$ để có

${y_o}$ .
Suy ra tập giá trị của hàm

$y$ là toàn bộ khoảng

$( - 1{\rm{ ; 1)}}$ .

Bài 105476

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105476

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan