Bài 105406

Question

Cho $f(x)$ là một hàm số liên tục trên $R$ và thỏa mãn điều kiện: $f(f(f(x))) = x,\forall x \in R$
Chứng minh rằng $f(x) = x,\forall x \in R$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 4:09:41 PM

$1)$ $f(x)$ đơn trị. Thực vậy, nếu $u = f(x) = f(y),{\rm{ x,y }} \in {\rm{R}}$ thì
    $x = f(f(f(x))) = f(f(u)) = f(f(f(y))) = y$

$2)$ $f(x)$ đơn điệu ngặt. Thật vậy, giả sử ngược lại; thế thì tồn tại ${x_1} < {x_2} < {x_3}$ sao cho
        $f({x_1}) < f({x_2}),{\rm{ f(}}{{\rm{x}}_3}) < f({x_2})$                     $ (1)$
Hoặc         $f({x_1}) > f({x_2}),{\rm{ f(}}{{\rm{x}}_3}) > f({x_2})$            $(2)$
Theo giả thiết f(x) liên tục và do (1) nên tồn tại u : $u \in (f({x_1}),f({x_2})),{\rm{ }}u \in (f({x_3}),f({x_2}))$ và tồn tại ${x_4} \in ({x_1};{x_2}),{\rm{ }}{x_5} \in ({x_2};{x_3})$ sao cho
    $\left. \begin{array}{l}
f({x_1}) < u = f({x_4}) < f({x_2})\\
f({x_3}) < u = f({x_5}) < f({x_2})
\end{array} \right\} \Rightarrow {x_4} = {x_5}$ (theo $(1)$)
Tương tự xét cho $(2).$

$3)$ Giả sử $f(x) \ne x \Rightarrow $ tồn tại ${x_o}:f({x_o}) \ne {x_o}$
a) $f(x)$ tăng
* $f({x_o}) > {x_o}$
    $f(f({x_o})) > f({x_o}) \Rightarrow {x_o} = f(f(f({x_o}))) > f(f({x_o})) > f({x_o})$, trái với $(3).$
* $f({x_o}) < {x_o}$                                       $ (4)$
    $f(f({x_o})) < f({x_o}) \Rightarrow {x_o} = f(f(f({x_o}))) < f(f({x_o})) < f({x_o})$, trái với $(4).$
b) $f(x)$giảm, chứng minh tương tự.

Vậy     $f(x) = x,\forall x \in R$

Bài 105406

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105406

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan